Главные оси и главные моменты инерции. Радиус инерции. Эллипс инерции

Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными.

Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то оси называются главными центральными осями.

Моменты инерции относительно этих осей называются главными моментами инерции или главными центральными моментами инерции

Пусть известны моменты инерции сечения: .

Приравняем выражение (1.17) нулю и определим угол наклона главных осей к исходным осям . Имеем или . Отсюда находим

(1.18)

Из уравнения (1.18) определяем два значения угла , отличающихся на . Следовательно, главные оси взаимно перпендикулярны.

Для сечений имеющих ось симметрии и положение главных осей определяется просто. Ими являются ось симметрии и перпендикулярная ей ось.

Покажем, что относительно главных осей моменты инерции принимают экстремальные значения.

Вычислим производную от выражения (1.15) приравняем ее нулю или . Отсюда находим . Сравниваем полученный результат с (1.18) приходим к выводу.

Главными осями являются такие две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, а осевые моменты инерции принимают максимальное и минимальное значения.

Ели в формулы (1.15), (1.16) подставить , найденные из уравнения (1.18) , то после некоторых преобразований приходим к формулам:

(1.19)

Часто вместо формул (1.18) используют формулы:

(1.20)

В формулах (1.20) - угол между осью и осью относительно которой момент инерции минимален, а - угол между осью и осью относительно которой момент инерции максимален (положительный угол откладывается против хода часовой стрелки).

Более удобным является определение положения главных осей инерции через направляющие косинусы этих осей. Обозначим через , направляющие косинусы оси, тогда векторы, определяющие направляющие косинусы главных осей определятся по формулам:

, ; , .

(1.21)

Радиусами инерции, соответствующие главным осям, называется величины:

,

.

(1.22)

Пример 1.8 Определим главные центральные оси и главные моменты инерции для плоской фигуры примера 1.7 Было вычислено: ; ; . По формулам получим:

; .Радиусы инерции ; .

Углы наклона главных осей инерции к оси

; . ; .

Углы откладываются с помощью транспортира.

Направляющие косинусы оси , относительно которой момент инерции минимален () ; .

Направляющие косинусы оси , относительно которой момент инерции максимален () ; .

Направляющие косинусы откладываются с помощью линейки.

Рис. 1.19 Главные центральные оси и эллипс инерции

Вычисляем радиусы инерции:

: .

Строим эллипс инерции (рис 1.19,б). С помощью эллипса инерции можно определить момент инерции относительно произвольной оси графическим способом.

Для вычисления геометрических характеристик поперечных сечений удобно использовать систему инженерных расчетов . Ниже представлен код программы, реализующий вычисление интегралов (1.3), (1.12)

Name:=”Треугольник”