Приведение матричного уравнения к новым координатам

Аналитическое решение системы нормальных дифференциальных уравнений (3.15) осложняется в случае, если матрица А недиагональная. Так как

.

Для нахождения значений можно привести уравнение (3.15) к новым координатам, в которых матрица, подобная А была бы диагональной.

Уравнение n-го порядка (3.15) в векторно-матричном виде подвергнем неособым преобразованиям,

x(t) = Тy(t), (3.16)

где Т – неособая матрица (имеет обратную матрицу) перехода к новой системе координат y. Откуда

,

подставим в исходное уравнение (3.15):

.

Последнее выражение умножим на Т^-1 слева:

.

Обозначим

, (3.17)

где L – диагональная матрица собственных значений матрицы A.

Окончательно приходим к уравнению:

. (3.18)

В уравнении (3.18) две неизвестные матрицы – L и Т^-1. Элементы матрицы L – собственные значения матрицы А можно найти двумя способами:

1. из характеристического уравнения:

, (3.19)

здесь Е – единичная диагональная матрица.

2. В MathCad для расчета собственных значений матрицы используется функция eigenvals(A). Аргумент А функции eigenvals – матрица. Функция возвращает собственные значения аргумента.

Для нахождения матрицы Т условие (3.17) умножим слева на Т:

,

. (3.20)

Для того чтобы получить Т такое, чтобы оно диагонализировало матрицу А, необходимо найти решение уравнения (3.20).

В MathCad можно воспользоваться функцией расчета нормализованной матрицы (составленной из собственных векторов матрицы-аргумента) с помощью функции eigenvecs(A). Аргумент А функции eigenvecs – исходная матрица А. Функция возвращает системообразующую матрицу Т, преобразующую матрицу А к канонической (диагональной) форме Это возможно, если корни характеристического уравнения различные.

После определения элементов матриц – L и Т. можно воспользоваться известной формулой решения систем дифференциальных уравнений в матричном виде (3.9). Для уравнения (3.15) в случае размера матриц 2 х 2 решение имеет вид:

, (3.22)

где

. (3.22)

Искомая функция x(t):

.