Пример 5. Решение: Решим данную задачу методом искусственного базиса, для этого в ограничения задачи добавим искусственные переменные х5

f(x)=5 х₁ + 3 х₂ + 4 х₃ – х₄ ® max

х₁ + 3 x₂ + 2 х₃ + 2 х₄ <= 3,

2 х₁ + 2 x₂ + х₃ + х₄ <= 3,

х_i ³ 0, i = 1,…,4.

Решение: Решим данную задачу методом искусственного базиса, для этого в ограничения задачи добавим искусственные переменные х₅, х₆:и возьмем их в качестве базисных.

х₁ + 3 x₂ + 2 х₃ + 2 х₄ + х₅ = 3,

2 х₁ + 2 x₂ + х₃ + х₄ + х₆ = 3,

Составим вспомогательную функцию: Z = х₅ + х₆ ® min, выразим ее через небазисные переменные: Z = 6 – 3 х₁ – 5 x₂ – 3 х₃ – 3 х₄. Строим симплексную таблицу и решаем задачу:

базис	значение	х1	х2	х3	х4	х5	х6
Z(x)
f(x)		-5	-3	-4
х5
х6

базис	значение	х1	х2	х3	х4	х5	х6
Z(x)		4/3		-1/3	-1/3	-5/3
f(x)		-4		-2
х2		1/3		2/3	2/3	1/3
х6		4/3		-1/3	-1/3	-2/3

базис	значение	х1	х2	х3	х4	х5	х6
Z(x)						-1	-1
f(x)				-3		-1
х2	3/4			3/4	3/4	1/2	-1/4
х1	3/4			-1/4	-1/4	-1/2	3/4

Искусственные переменные исключены из базиса, т. е. найдено начальное допустимое базисное решение и вспомогательная целевая функция Z_min = 0.

Вычеркнем строку для Z, столбики, соответствующие искусственным переменным и решим исходную задачу:

базис	значение	х1	х2	х3	х4
f(x)				-3
х2	3/4			3/4	3/4
х1	3/4			-1/4	-1/4

базис	значение	х1	х2	х3	х4
f(x)
х3			1/3
х1			4/3

Максимум функции f(x) найден: x* = (1, 0, 1, 0) – точка максимума, а значение целевой функции f(x*) = 9.

Задачи на закрепление:

1) f(x) = x₁ – x₂ + 1 ® min 2) f(x) = 4 x₁ + x₂ ® min

2 x₁ + x₂ + 3 x₃ = 1 3 x₁ + x₂ = 3,

x₁ – 3 x₂ + x₃ = – 3 4 x₁ + 3 x₂ – x₃ = 6,

x₁ + 11 x₂ + 3 x₃ = 11 x₁ + 2 x₂ + x₄ = 4,

x_i ³ 0, i = 1,…,3. х_i ³ 0, i = 1,…,4.