Поверхностные интегралы

§ 1. Поверхностные интегралы по простым гладким поверхностям.

1.1. Простая гладкая поверхность.

Пусть В -область, границей которой является простой контур , и пусть функция непрерывна в замкнутой области . Обозначим через график этой функции, т.е. поверхность, уравнение которой (рис.1):

назовём поверхностью, простой относительно оси . Пусть точка принадлежит поверхно- сти . Тогда её проекция на плоскость ХОУ, точка ,, принадлежит замкнутой об- ласти . назовём внутренней точкой поверхности , если принадлежит В, т.е., является внутренней точкой множества . назовём краевой точкой пове- рхности , если принадлежит , т.е. является граничной точкой множества .

Множество всех внутренних точек поверхности назовём внутренностью этой поверх- ности и обозначим через . Множество всех краевых точек поверхности назовём кра- ем этой поверхности и обозначим через .или через Г. Г является простым контуром, его проекция на плоскость ХОУ есть . Если

- параметрическое уравнение , то

, где - уравнение Г. При возрастании на точка ) совершает обход контура Г. Для наблюдателя, смотрящего с конца оси , этот обход совершается либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Ниже одну из этих двух ориентаций контура будем называть положительной и применять обозначение , а другую – отрицательной и применять обозначение .

Пусть точка принадлежит области В, а функция дифференцируе- ма в этой точке. Плоскость, уравнение которой

, где , является касательной плоскостью к поверхности в точке . Прямую, проходящую через перпендикулярно касательной плоскости называют нор- малью к поверхности в точке . Вектор перпендикуля- рен касательной плоскости, он является направляющим вектором нормали в точке .

Ниже считаем, что и её частные производные и непрерыв- ны в замкнутой области . В этом случае поверхность называют гладкой. Этот термин отражает следующее свойство такой поверхности: при малых перемещениях точки Р по поверхности положение нормали в этой точке меняется плавно, без скачков. Действитель -но, из непрерывности производных и и теоремы о достаточных условиях дифференцируемости вытекает дифференцируемость в области В; значит, в каж- дой точке существует касательная плоскость. Введём обозначение:

ν (x,y) =

= Очевидно, орт ν (x,y) является направляющим вектором нормали к поверхности в точке , причём угол между ν (x,y) и ортом k оси острый. Вектор - функцию ν (x,y) будем называть непрерывной единичной нормалью поверхности . Непрерывность вектор-функции ν (x,y) обеспечивает плавность изменений положения нормали, о чём было сказано выше. Гладкой поверхностью является, например, полусфера . Обычно орт ν (x,y) будем откладывать от точки и обозначать его в таком случае через ν (Р).

Вектор-функцию - ν (x,y) = - ν (Р) также назовём непрерывной единичной норма- лью поверхности . Угол между ортами - ν (Р) и тупой.

С векторами ν (Р) и - ν (Р) связаны понятия верхняя и нижняя стороны поверхно- сти . Понятие “верхняя сторона поверхности ” складывается из этой поверхности и непрерывной единичной нормали ν (x,y): от каждой точки отложен орт ν (Р), обра- зующий с ортом острый угол. Наблюдатель, смотрящий на поверхность с конца оси , видит верхнюю её сторону, т.е., поверхность, “ощетинившуюся ” ортами нормали ν (Р),. Аналогично, понятие “ нижняя сторона поверхности ” состоит из этой поверхно- сти и вектор-функции - ν (x,y). В дальнейшем одну из сторон поверхности – верхнюю или нижнюю – будем обозначать через , тогда противоположную сторону обозначаем че- рез .

Ведем понятие о согласовании стороны поверхности и ориентации её края. Пусть - одна из сторон поверхности , а - одна из ориентаций её края. Будем говорить, что сторона и ориентация края согласованы, если наблюдатель, идущий по сторо- не вдоль края , оставляет поверхность слева от себя. Например, пусть для наблю- дателя, смотрящего с конца оси , контур ориентирован против часовой стрелки. Эта ориентация края согласована с верхней стороной поверхности .

Через обозначим площадь поверхности . Справедлива теорема, доказатель- ство которой имеется в [1].

Теорема. Пусть функция и её частные производные и непрерывны в замкнутой области , а - график этой функции. Тогда

.

Край поверхности, её внутренность, верхняя и нижняя стороны поверхности, согла- сование стороны поверхности и ориентации её края - эти понятия введены выше для по- верхности, простой относительно оси . Те же понятия аналогично вводятся и для по- верхностей, простых относительно других координатных осей, т.е., для поверхностей, за- данных уравнениями видов и .

1.2. Поверхностный интеграл I рода (по площади).

Пусть - гладкая поверхность, уравнение которой , , а - функция, непрерывная вдоль (т.е., непрерывна на ).

Определение. Поверхностным интегралом I рода от функции по поверх- ности называют двойной интеграл

Обозначают введенный интеграл символом . Таким образом,

(1)

Перечислим основные свойства этого интеграла. Ниже и - функции, непрерывные вдоль , - вещественное число.

1. .

2. . Эти равенства непосредственно вытекают из сформулированного выше определения и свойств двойного интеграла.

3. = .. Здесь есть интеграл , подынтегральная функция которого тождест- венно на равна единице. Положив в (1) , получим (см. выше, Теорема):

= .

Определения и свойства поверхностных интегралов рода по поверхностям, задан- ным уравнениями или аналогичны изложенным выше. Например, если - график функции , а непрерывна вдоль , то

, где В – проекция на плоскость .

1.3. Поверхностный интеграл рода (по координатам)

Пусть - гладкая поверхность, уравнение которой , , а ν (Р) – - орт нормали к в точке , образующий с ортом острый угол. Пусть - вектор-функция, непрерывная вдоль этой поверх- ности (т.е., её координатные функции непрерывны вдоль ). Зададим на функцию : для любой точки положим равной проекции вектора на орт ν (Р)

Определение 1. Поверхностным интегралом второго рода от вектор - функции по верхней стороне поверхности называют поверхностный интеграл первого рода по от проекции вектора на орт нормали ν (Р).

Определение 2. Поверхностным интегралом второго рода от вектор - функции по нижней стороне поверхности называют поверхностный интеграл первого рода по от проекции вектора на орт нормали - ν (Р).

Для поверхностей, простых относительно осей и , нетрудно сформулиро- вать аналогичные определения.

Пусть - гладкая поверхность, простая относительно одной из координатных осей. Одну из сторон этой поверхности – верхнюю или нижнюю – обозначим через , а противоположную сторону через . Орт нормали на стороне обозначим через ν , а на стороне - через ν . Направление орта ν назовём положительным направле- нием нормали, направление орта ν – отрицательным направлением нормали. Заме- тим: ν (Р) = - ν (Р). Пусть - вектор – функция, непрерывная вдоль . Сформулируем определение, обобщающее те, что приведёны выше.

Пусть - гладкая поверхность, простая относительно одной из координатных осей, а вектор-функция непрерывна вдоль .

Определение 3. Поверхностным интегралом второго рода от вектор - функции по стороне (по стороне ) поверхности называют поверхностный интег- рал первого рода по от проекции вектора на положительное (отрицательное) направление нормали в точке .

Поверхностный интеграл по стороне обозначать будем символами

и d Σ.. Заменив в этих символах на , получим обозначения для интеграла по стороне .

Проекция вектора на тот или иной орт равна скалярному произведению этих векторов; поэтому

d Σ ν ) , d Σ ν )

Перечислим основные свойства введённого интеграла. Ниже и - вектор – функции, непрерывные вдоль , - вещественное число.

1. Σ = d Σ.

2. Σ = d Σ + d Σ.

Эти равенства непосредственно вытекают из сформулированного выше определе- ния и свойств поверхностного интеграла рода.

3. d Σ = - d Σ.

► Так как ν (Р) = - ν (Р), то

d Σ ν ) = - ν ) = - ν ) - d Σ. ◄

Пусть есть верхняя сторона гладкой поверхности , простой относительно одной из координатных осей.. Выпишем формулы, выражающие поверхностный интеграл по через двойной интеграл по проекции этой поверхности на соответствующую коор- динатную плоскость..

. Если задана уравнением , а - проекция на плоскость , то

d Σ = .

. Если задана уравнением , а - проекция на плоскость , то

d Σ = .

. Если задана уравнением , а - проекция на плоскость , то

d Σ =

► Докажем формулу ; доказательства других двух аналогичны. По определению d Σ = ν ) , где

ν = ν (х,у) = .

Значит,

d Σ ν )

= ν (х,у)) =

= . ◄

. 1.4. Формула Стокса.

Пусть функции и непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по каждому из своих аргументов в некоторой об- ласти . Обозначим:

;

. Таким образом, в области определены два векторных поля: и ; поле называют ротором (вихрем) поля а. Равенство - это удобный для запоминания способ записать этот вектор.

Пусть - гладкая и простая относительно одной из координатных осей поверх- ность, а - проекция на координатную плоскость, перпендикулярную этой координат- ной оси. Будем считать областью, ограниченной простым кусочно-гладким контуром.Булем также считать, что содержится в области , в которой определены поля и .

Теорема. Пусть поверхность и вектор-функция удовлетворяют указан- ным выше условиям. Тогда d Σ, где - одна из сторон поверхности , а Г - край , ориентация которого согласована со стороной .

► Доказательство приведём для случая, когда - простая относительно оси поверхность, а - верхняя её сторона.

Пусть В – область в плоскости , границей В является простой кусочно-гладкий кон- тур , заданный параметрическим уравнением . Функция , а также её частные производные и непрерывны в замкнутой области .

Введем в рассмотрение три вектор-функции:

. . Очевидно, . Кроме того, нетрудно убедиться в справедливости равенства . Докажем три равенства:

d Σ, d Σ, d Σ. (2)

Так как - верхняя сторона поверхности , то согласованная с ней ориентация Г её края - против часовой стрелки. Будем считать, что уравнение ориентирует контур против часовой стрелки. Тогда уравнение

, где есть уравнение Г . Докажем первое из равенств (2). По формуле I, п.!.3., имеем: . Обозначим: . Тогда (см. глава “Криволинейные интегралы”, п. 3.2., свойство 4, формула 7)): . Положим на множестве . По формуле Грина . Таким образом, - (3)

С другой стороны (см. (3), а также формулу I, п. 1.3),

d Σ = =

= - . (4)

Из (3) и (4) следует: d Σ.

Доказательство второго из равенств (2) проводится аналогично.

. Обозначим: . Тогда (см. глава “Криволинейные интегралы”, п. 3.2., свойство 4, формула 7)): . Положим на множестве . По формуле Грина . Таким образом, (5)

С другой стороны (см. (3), а также формулу I, п. 1.3),

d Σ = =

= . (6)

Из (5) и (6) следует: d Σ.

Докажем третье из равенств (2). С целью упростить доказательство наложим на функцию дополнительное требование: в существуют и непрерывны смешанные производные и . По теореме о равенстве смешанных производных = в В. Напомним: .

= .

Пусть . Тогда

=

=

По формуле Грина

=

= = = = = = = =

Таким образом, . С другой стороны,

d Σ =

d Σ = .= = .

Значит, справедливо и третье из равенств (2). Сложив эти три равенства почленно, полу- чим формулу Стокса для случая, когда - простая относительно оси поверхность, а - верхняя её сторона. Для других могущих иметь место случаев доказательства можно построить аналогично изложенному выше. ◄

1.5. Поверхностный интеграл как предел последовательности интегральных сумм.

Пусть - некоторое дробление области , т.е., множества , измеримы, попарно не пересекаются и . Обозначим через график функции на множестве ; т.е., - та часть поверхности , проекцией которой на плос- кость является . Совокупность обозначим через и назовём дроблени- ем поверхности : = . Заметим: , попарно не пересекаются, и . В тех случаях, когда требуется различать стороны и , применяем обозна- чения = и = .

Пусть - нормальная последовательность дроблений области . Соответст- вующую последовательность назовём нормальной последовательностью дробле- ний поверхности .

Пусть и - скалярная и векторная функции, определённые в точках поверхности и непрерывные вдоль неё. Пусть = - некоторое дробление поверхности , а точка произвольно взята на . Обозначим:

, ν ( )) . Эти суммы назовем интегральными суммами по дроблению скалярной функции и векторной функции а . Справедливы утверждения (см. [1]): для любой нормальной последовательности дроблений поверхности

, d Σ.

§ 2. Поверхностные интегралы по кусочно - гладким поверхностям.

2. 1. Кусочно – гладкая ориентируемая поверхность.

Пусть - функция, непрерывная в некоторой области трехмерного прост- ранства, а - геометрическое место точек , координаты которых удовлетворяют уравнению . Геометрическое место назовем поверхностью, а уравнение - уравнением этой поверхности.

Пример. Пусть , где . Уравнение есть уравнение сферы.

Геометрическое место может оказаться объектом весьма сложной структуры. Но поверхности, представляющие интерес для приложений, обычно не столь сложны. Как правило, в прикладных задачах рассматривают поверхности либо простые относительно той или иной координатной оси, либо такие, что их можно разбить на несколько частей, каждая из которых является поверхностью, простой относительно одной из координат- ных осей. В этом пункте рассматриваем поверхности именно такого типа.

Пусть поверхность разделена сетью кривых на частей . Будем записывать и будем считать выполненными следующие условия.

1. Каждая из частей представляет собой простую относительно одной из координатных осей и гладкую поверхность, т.е., является графиком функции функции , функции , непрерывной вместе со своими частными произ- водными первого порядка в некоторой ограниченной замкнутой области.

2. Край поверхности , есть кусочно-гладкий простой контур.

3. При поверхности и не имеют общих внутренних точек.

4. - связное множество.

Если эти условия соблюдены, будем называть поверхность кусочно- гладкой поверхностью.

Пусть - кусочно-гладкая поверхность, - край поверхности , . Пусть точка Р – краевая для какой-либо из поверхностей , т.е., . Возмож- ны два случая: 1) Р лежит только на одном из контуров и 2) Р является общей по крайней мере для двух из этих контуров. Множество всех точек, удовлетворяющих ус- ловию 1) обозначим через . Точку Р, , назовём краевой точкой кусочно -гладкой поверхности в двух случаях: 1) Р принадлежит только одному из контуров , т.е., , и 2) Р является предельной точкой множества .

Множество всех краевых точек поверхности назовём краем этой поверхности

Замечание. Пусть - ограниченная область, а её граница представляет собой кусочно – гладкую поверхность . Такая поверхность края не имеет, поскольку для неё множество пусто. В этом случае поверхность называют замкнутой. К замкнутым поверхностям принадлежат сфера, эллипсоид, параллелепидед, пирамида и т.п. Замкнутая поверхность разбивает пространство на две части – ограниченную (её называют внут- ренностью поверхности) и неограниченную(её называют внешностью поверхности).

Пусть - некоторая кусочно-гладкая поверхность При поверхности и не имеют общих внутренних точек, но общие граничные точки у них могут быть. Две поверхности и , , назовём соседними, если края этих поверхностей, конту- ры и , имеют общую часть, т.е., если существует некоторая дуга , принадлежащая и , и .