Лекция № 10

Гармонический осциллятор (продолжение)

Вынужденные колебания под действием гармонической силы. Резонанс

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Наряду с трением на линейный осциллятор могут действовать и внешние силы. Все приложенные силы в общем случае могут быть сведены к более общему случаю гармонической внешней силы. Таким образом для получения незатухающих колебаний необходимо воздействие на тело внешней переменной силы. Работа, совершаемая такой силой, непрерывно бы восполняла убыль энергии, затрачиваемой на преодоление сил трения. Эта переменная сила называется вынуждающей, а возникающие под ее действием колебания – вынужденными.

Пусть гармоническая сила изменяется по закону . Второй закон Ньютона для грузика на пружине тогда запишется в виде

(: ),

где ; .

.

. (1)

Аналогичное дифференциальное уравнение получается и для заряда в колебательном -контуре при включении в него генератора синусоидального напряжения .

(: ),

.

Таким образом, обобщенное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний запишется в виде:

.

Для механических колебаний: .

Для электромагнитных колебаний: .

Это уравнение относится классу неоднородных дифференциальных уравнений. Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения , то есть

.

Однородное уравнение с в правой части это и есть уравнение затухающих колебаний. Его решение имеет вид

, где .

Частное решение будем искать в комплексной форме

, здесь - комплексная константа.

С учетом того, что

;

;

.

Подставив эти значения в уравнение (1), получим

,

где

,

,

,

или

.

Отсюда

.

Это соотношение определяет комплексную константу . Ее удобнее всего представить в экспоненциальной форме

,

;

. (2)

Следовательно, решение в комплексной форме можно представить

.

Действительная часть этого комплексного числа

,

где - частота внешней силы.

Тогда общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний запишется в виде

или

.

Проанализируем это решение. Оно представляет собой сумму затухающих собственных колебаний частоты и амплитуды и вынужденных колебаний, происходящих с частотой внешнего воздействия.

Через время собственные колебания затухают. Остаются только вынужденные колебания, не зависящие от начальных условий. Сам процесс затухания свободных колебаний называется установлением колебаний.

Пример установления колебаний:

а) частоты и различны;

б) частоты и близки, поэтому здесь установление колебаний сопровождается биениями.

Амплитудная резонансная кривая

Установившиеся вынуж-денные колебания описы-ваются вторым слагаемым, т.е

. (3)

Это значит, что под влиянием внешней гармони-ческой силы осциллятор совершает вынужденные гар-монические колебания с частотой этой же силы. Зависимость амплитуды коле-баний от частоты внешнего воздействия дается формулой (2).

На этом рисунке представлены кривые этой зависимости, соответствующие различному трению (иди добротности ).

Явление резкого возрастания амплитуды колебаний при частоте внешней силы, близкой к собственной частоте осциллятора () называется резонансом.

Точное значение частоты резонанса можно определить из условия максимума амплитуды на этой частоте. Для этого продифференцируем по значению частоты уравнение (2) и приравняем его к нулю:

,

т.е.

.

Решениями этого уравнения будут значения и ;

(это значение нужно отбросить, т.к при в знаменателе формулы для А (2) имеем и, следовательно, ) и (отрицательное значение не имеет физического смысла). Следовательно, .

Таким образом, частота резонанса равна собственной частоте при отсутствии трения (), а с его ростом уменьшается, все более отличаясь от .

Подставив это значение в формулу (2), получим, что максимальное значение амплитуды равно

.

Статическое значение амплитуды (), т.е. смещение осциллятора под действием постоянной силы , как следует из формулы (2), равно

.

Отношение определяет интенсивность резонанса

.

При малом трении . Следовательно,

, (4)

где - логарифмический декремент затухания,

- добротность.

Добротность колебательного контура определяет рост амплитуды его колебаний в резонансе по сравнению со статическим значением.

Важной характеристикой резонансных свойств является не только увеличение амплитуды в резонансе, но и скорость этого роста. Это определяется шириной резонансной кривой , представляющей собой разность между двумя частотами и , при которых энергия колебаний вдвое меньше, чем в максимуме, а амплитуда, соответственно, - в раз.

Добротность определяет не только высоту резонансов кривой, но и ее ширину. Чем больше добротность, тем выше резонансный пики тем он острее.

При сильном трении ( уменьшается очень мало) резонанс отсутствует или слабо выражен (кривые 3 и 4).

При нулевом трении резонансная кривая уходит в при приближении к (кривая 1).

Явление резонанса лежит в основе техники радиоприема. Для того, чтобы радиоприемник принимал радиостанции, необходимо за счет настройки добиться совпадения собственной частоты колебательного контура радиоприемника с частотой электромагнитных волн излучаемых радиостанцией.

Чем больше , тем чувствительнее приемник и тем уже полоса частот, которые он способен принимать. Чем чувствительнее радиоприемник, тем он избирательнее, т.е. тем меньше мешают приему другие радиостанции, работающие на близких частотах. Эти закономерности носят общий характер и справедливы не только для радиоприемников, но и для любых осцилляторов независимо от физической природы колебаний.

Фазовая резонансная кривая

Установившиеся вынужденные колебания, как следует из уравнения (3), происходят с частотой внешнего воздействия , однако отличаются по фазе на величину (см. формулу (2)).

Зависимость фазы колебаний от частоты называется фазовой резонансной кривой.

Ее характерный вид приведен на рисунке.

При очень малых частотах фаза мала и отрицательна. Это значит, что смещение незначительно отстает по фазе от силы.

При резонансе сдвиг фаз равен , при дальнейшем увеличении частоты - приближается к , смещение и сила колеблются в противофазе .

При малом затухании () в очень малом интервале частот вблизи фаза быстро меняется от 0 до . Происходит переворот фазы. Синфазные силе колебания грузика скачком переходят в противофазные.

Фазовые соотношения между смещением и силой позволяют глубже понять сущность явления резонанса.

Мгновенная мощность, передаваемая колебательной системе

,

,

.

Среднее значение мощности за один период колебаний

,

где - это константа.

Когда и принимает максимальное значение .

Таким образом, только при сила все время совпадает по направлению со скоростью и передает колебательной система максимальную мощность. Это приводит к резкому возрастанию амплитуды колебаний – наступает явление резонанса.

С явлением резонанса приходится считаться при конструировании машин и различных сооружений. Собственная частота колебаний конструкций не должна быть близка к частоте возможных внешних воздействий. Так, например, собственная частота вибраций корпуса корабля должна сильно отличаться от частоты колебаний, которые возбуждаются вращением гребного винта. В противном случае возникают вибрации, которые могут привести к катастрофе. Известны случаи, когда обрушивались мосты при прохождении по ним колонны солдат, марширующих «в ногу». Это происходило потому, что собственная частота колебаний моста оказывалась близкой к частоте, с которой шагала колонна.

С другой стороны явление резонанса часто оказывается весьма полезным. Наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если частота их совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Вся прикладная акустика и радиотехника, аппараты, воспринимающие звуковые и электрические колебания, основаны на явлениях резонанса.

Советским ученым принадлежит открытие нового типа резонанса – параметрического резонанса.

Представим себе, что одна из физических величин (параметров), определяющих свойства системы, сама периодически изменяется таким параметром в случае маятника или качелей может быть расстояние от оси колебаний до центра инерции системы. При малых колебаниях системы периодическое изменение такого параметра может при соответствующей частоте привести к значительному усилению колебаний. Это и есть параметрический резонанс.

Примером параметрического резонанса могут служить колебания качелей с небольшой амплитудой. Эти колебания можно значительно усилить, поднимаясь и приседая в такт, т.е. меняя положение центра инерции системы.

Другим примером параметрического резонанса могут служить колебания шарика, привязанного к нити. Если периодически изменять длину маятника, увеличивая ее в те моменты, когда маятник находится в крайних положениях, и уменьшая в моменты, когда маятник находится в среднем положении, то маятник сильно раскачивается.

Это происходит потому, что сила натяжения нити в различные моменты времени различна: в крайних положениях, когда , она значительно меньше, чем в среднем положении шарика, где . При одинаковом изменении длины маятника в среднем и крайнем положениях работа внешней силы в среднем положении будет больше работы, совершаемой внешней силой в крайних положениях. Поэтому работа внешней силы за период будет больше нуля, в результате чего колебания будут возрастать.

Понятие о нелинейных колебаниях

Если в процессе колебаний параметры системы остаются постоянными, а силы, действующие на колеблющиеся тела, выражаются линейными функциями от этих параметров, то колебательные системы и сами колебания называются линейными.

Линейными могут быть не только гармонические, но и затухающие колебания.

Отметим важное свойство линейных колебательных систем: если на такую систему одновременно действуют несколько внешних непериодических сил, то ввиду постоянства параметров системы каждая из этих сил оказывает свое действие на систему, независимо от существования других сил. Например, если одна сила при отсутствии других сил вызывает смещение , другая - и т.д., то результирующее смещение равно .

Это свойство не распространяется на нелинейные системы. Если, например, одна сила вызвала смещение и при этом параметры системы изменились, то вторая сила, которая при старых значениях параметров вызывала смещение , будет при новых значениях параметров вызывать смещение . Это смещение зависит от того, на сколько изменились параметры системы. Отличие линейных колебательных систем от нелинейных проявляется и в характере вынужденных колебаний. Так, например, в линейных системах синусоидальная внешняя сила вызывает гармонические колебания. В нелинейных системах эти колебания будут отличаться от гармонических тем сильнее, чем больше амплитуда вынужденных колебаний.

Автоколебания

При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сопротивления среды. Если восполнять эту убыль энергии, то колебания станут незатухающими.

Возможность поддерживать незатухающие колебания представляет чрезвычайный интерес для техники. Особенно важными и широко применяемыми являются колебательные движения, возникающие и поддерживающиеся за счет неколебательного источника энергии. Такая система называется автоколебательной, а совершаемые ею незатухающие колебания – автоколебаниями.

Теория автоколебаний разрабатывалась главным образом советскими учеными Мандельштамом, Паналекси, Андроновым, Хайкиным, Теодорчиком и др.

В качестве примеров автоколебательных систем можно привести часы, в которых постоянные колебания маятника поддерживаются за счет энергии спиральной пружины или поднятого груза, радиопередатчик, энергия колебаний которого поддерживается за счет энергии аккумуляторных батарей, пневматический молоток, электрический звонок и т.д.

Чтобы колебательное движение не затухало к колеблющейся системе необходимо подводить энергию для компенсации потерь в виде «толчков» в подходящие моменты времени. Толчок должен ускорить, а не замедлить колебание. В автоколебательной системе включение источника энергии для получения нужного толчка производится самой системой, что гарантирует получение таких толчков в нужные моменты времени.

В качестве одной из простейших автоколебательных систем рассмотрим следующее устройство (см. рис.).

Гибкая упругая линейка зажата одним концом неподвижно. Расположена она в свободном состоянии под некоторым углом к горизонту. Если оттянуть свободный конец линейки вниз и затем отпустить, линейка начнет совершать затухающие колебания. Эти колебания можно сделать незатухающими, направив на конец линейки струйку воды так, чтобы она задевала линейку в тот момент, когда последняя находится в крайнем верхнем положении. Удары струйки о конец линейки и восполнят убыль энергии колебаний, обусловленную трением.