Достоверность различий относительных и средних величин

Для выявления различий между группами (переменными) необходимо провести проверку статистических гипотез о равенстве генеральных средних. Для проверки одной и той же гипотезы могут быть использованы разные статистические критерии. Наибольшей популярностью при проверке гипотез о равенстве генеральных средних (математических ожиданий) пользуется t-критерий Стьюдента (t-критерий различия).

Достоверность различий (разности) между двумя средними величинами ( и ) или между двумя показателями (относительными величинами – и ) определяется по формулам:

где:

t – критерий Стьюдента

М – средние величины

Р – относительные величины

m – средняя (стандартная) ошибка средней или относительной величины.

Величина t должна быть равна или больше 2 или 3. только в этом случае с вероятностью безошибочного прогноза, равной 95 или 99%, можно утверждать, что имеются существенные различия между сравниваемыми средними или относительными величинами.

Вычисление М, Р и m для формулы t-критерия при помощи формул и функций описано выше в предыдущих разделах.

Разберем несколько примеров применения пакета Анализ данных для определения t-критерия двух выборок.

Критерий Стьюдента (t) – наиболее часто используется для проверки гипотезы: «Средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности». Критерий позволяет найти вероятность того, что оба средних относятся к одной и той же совокупности. Если эта вероятность р ниже уровня значимости (р <0,05), то принято считать, что выборки относятся к двум разным совокупностям.

При использовании t-критерия можно выделить два случая. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная и опытная группа, состоящие, например, из разных пациентов, количество которых в группах может быть различно.

Во втором же случае, когда одна и та же группа объектов порождает числовой материал для проверки гипотез о средних, используется так называемый парный t-критерий. Выборки при этом называют зависимыми, связанными. Например, измеряется содержание лейкоцитов у здоровых животных, а затем у тех же самых животных после облучения определенной дозой излучения.

В обоих случаях в принципе должно выполняться требование нормальности распределения исследуемого признака в каждой из сравниваемых групп и равенства дисперсий в сравниваемых совокупностях. Однако на практике корректное применение t-критерия Стьюдента для двух групп часто бывает затруднительно, поскольку достоверно проверить эти условия удается далеко не всегда.

Для работы с t-критериями необходимо выполнить команды:

1. Сервис – Анализ данных.

2. В появившемся списке Инструменты анализа выбрать необходимую строку t-теста:

3. В появившемся окне указать Интервалы переменной 1, 2 и Выходной диапазон:

4. Нажать кнопку ОК.

Пример 1. Изучалась реакция организма человека на введение ацетофоса. Измерялась активность холинэстеразы крови у мужчин и женщин через 2 час после однократного введения ацетофоса в дозе 2 мг/кг веса (в процентах к исходному фону). Можно ли по этим данным сделать вывод о большой чувствительности женского организма к действию ацетофоса? (рисунок 10).

Рисунок 10 – Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями.

В данном примере выбран Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями, т.к. имеется различное количество наблюдений: для мужчин – 5, для женщин – 4.

Интерпретация результатов. Средние значения активности холинэстеразы (83% для мужчин и 61% для женщин) довольно сильно отличаются и нулевая гипотеза о том, что разницы между группами нет (т.е. средние выборок равны между собой), отвергается. Это следует из того, что вероятность реализации нулевой гипотезы мала (р = 0,014, что меньше чем уровень значимости 0,05) и величина вероятности случайного появления анализируемых выборок (Р(Т<=t) двухстороннее) меньше уровня значимости (р=0,05) и расчетное значение t-статистика больше, чем t-критическое двухстороннее (табличное), можно считать, что различия между выборками не случайные, т.е. различия достоверные.

Вывод. Организм женщины более чувствителен к действию ацетофоса, чем мужской с уровнем значимости р < 0,05.

Пример 2. Необходимо проверить, достоверны ли различия ЧСС мужчин и женщин в рассматриваемом случае (рисунок 1).

Рисунок 1 – Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями.

В данном примере выбран Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями, т.к. количество наблюдений в выборках одинаковы (интервалы В2:В7 = В8:В13).

Вывод. Достоверных различий между ЧСС мужчин и женщин нет, т.к. р = 0,346, что больше 0,05 и расчетное значение t-критерия (-0,988) меньше t-критического двухстороннего (2,228).

Пример 3. В качестве примера использования парного t- критерия для связанных выборок посмотрим, достоверны ли различия в ЧСС до и после (ЧССНАГР) физической нагрузки (рисунок 12).

Вывод. Выявлено достоверное возрастание ЧСС после физической нагрузки, т.к. р = 0,000, гораздо меньше 0,05 и расчетное значение t-критерия (-11,406) больше t-критического двухстороннего (2,201) (знак «минус» не учитывается).

В данном примере выбран Парный двухвыборочный t-тест для ср едних, т.к. исследование проводилось в пределах одной совокупности.

Рисунок 12 – Парный двухвыборочный t-тест для средних.

Таким образом, при сравнении двух выборок делается предварительное предположение (нулевая гипотеза), что средние выборок равны между собой. Если полученное в результате использования t -критерия Стьюдента р -значение меньше уровня значимости р<0,05, то исходное предположение отвергается, и средние выборок считаются достоверно отличающимися друг от друга. Это следует из того, что вероятность реализации нулевой гипотезы мала (р < 0,05).