Система линейных уравнений с двумя неизвестными

Рассмотрим систему линейных уравнений с двумя неизвестными и : , где , , , – коэффициенты при неизвестных; , – свободные члены.

Как известно из школьного курса, подобные системы решаются методом исключения, например, умножим первое уравнение на , второе на и вычтем второе из первого, таким образом, избавляемся от второго неизвестного:

,

(4.2)

откуда . Аналогично определяется и второе неизвестное:

,

(4.3)

откуда . Введем три определителя:

, , .

Определитель составлен из коэффициентов при неизвестных; определитель получается из заменой первого столбца на столбец свободных членов; определитель – аналогичной заменой второго столбца. Тогда равенства (4.2) и (4.3) можно переписать в виде: , . Рассмотрим возможные случаи:

1) . В этом случае система имеет единственное решение:

и .

Это решение известно как правило Крамера.

2) . В этом случае имеются две возможности:

а) и тогда система имеет бесконечное множество решений;

б) или , тогда система не имеет решений, так как одно из равенств противоречиво.