Билет 6. Линейные операции над векторами

Линейные операции над векторами:

1. Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или параллелограмма.

2. Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число l называют вектор такой, что ­ и , если и , если . Если , то . У произвольное направление.

Линейной комбинацией векторов называют сумму произведений этих векторов на произвольные числа: .

Если является линейной комбинацией векторов , т.е. , то говорят, что разложен по векторам , а - разложение

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов: Для того чтобы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы .

1. Пусть . Тогда, по определению произведения вектора на число, .

2. Пусть . Тогда можно взять и , если и , если ­ . Очевидно, что l существует.

Любой вектор на плоскости может быть единственным образом по двум неколлинеарным векторам.

Из рисунка видно, что такое разложение существует. Докажем единственность. Действительно, , , следовательно

Пусть также , где . Вычтем из первого уравнения второе. Получим: . Т.к. , то , т.е. , что противоречит условию.