Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
В этой теме решаются смешанные задачи геометрии в пространстве.
Угол между прямой и плоскостью
Если обозначить угол между прямой и плоскостью , а угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой , очевидно, имеет место связь .
Имея уравнение плоскости и прямой , получаем , откуда следует формула для угла между прямой и плоскостью
.
Отсюда следует условие параллельности прямой и плоскости
,
и условие их перпендикулярности
.
Пересечение прямой с плоскостью
Для решения этой задачи можно использовать общие уравнения прямой
и плоскости , тогда задача сводится к решению системы трех уравнений
.
Можно решить задачу проще, задав прямую параметрически. Имеем
и . Подставляем из уравнения прямой в уравнение плоскости и получаем одно уравнение относительно параметра . Это уравнение может иметь единственное решение, тогда подставляя в уравнение прямой найденное значение параметра, определяем точку пересечения. Уравнение может не иметь решения, тогда прямая параллельна плоскости, наконец, уравнение может иметь бесчисленное множество решений, тогда прямая лежит в плоскости.
Примеры.
1. Определить общие точки прямой и плоскости
а) , .
Приведем уравнение прямой к параметрическому виду
откуда следует . Подставляем эти соотношения в уравнение плоскости . Тогда , , и точка пересечения имеет координаты .
Ответ .
в) , .
Решение. , откуда следует
или . Уравнение не имеет решения. Проверим условие параллельности прямой с плоскостью .
Действительно, прямая параллельна плоскости, следовательно, не имеет с ней общих точек.
с) , .
Решение.
,
откуда следует , и уравнение имеет решение при любых . Прямая лежит в плоскости.
2. Определить угол между прямыми. Пусть прямые заданы следующими уравнениями , . Направляющий вектор второй прямой . Направляющий вектор первой прямой определим следующим образом. Нормальные векторы обеих плоскостей, определяющих прямую, ортогональны своим плоскостям. Направляющий вектор прямой лежит как в одной, так и в другой плоскости, следовательно, он ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Очевидно, его можно определить как векторное произведение нормальных векторов, то есть
,
или , поскольку длина направляющего вектора в этом случае несущественна.
Угол между прямыми определяется по формуле
.
Примеры для самоподготовки.
1. Через точу провести прямую, перпендикулярную плоскости .
2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
3. Записать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 339 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!