Решение. Проекцию точки A на прямую можно рассматривать как точку пересечения данной прямой с проектирующей плоскостью (a)

Рис. 45

Проекцию точки A на прямую можно рассматривать как точку пересечения данной прямой с проектирующей плоскостью (a), содержащей точку A и перпендикулярной к данной прямой.(Рис. 45) Запишем уравнение проектирующей плоскости, выбрав на ней текущую точку M(x,y,z) и, используя условие ортогональности векторов и , где - направляющий вектор данной прямой. Векторной уравнение плоскости (a) имеет вид: . Раскрывая скалярное произведение, получим общее уравнение проектирующей плоскости:

или .

Далее найдем точку как точку пересечения прямой с плоскостью (см. задачу 3). Это и будет проекция точки А на прямую.

Задача Найти проекцию точки А(4,-3,1) на плоскость

6. Кривые второго порядка.

Определение. Кривой второго порядка называется линия, определяемая в декартовой системе координат на плоскости уравнением второй степени:

, (6.1)

где коэффициенты не равны нулю одновременно.

Существуют всего три типа линий второго порядка:

1. эллипс (и его частный вид – окружность),

2. гипербола,

3. парабола,

либо их вырожденные варианты. Случаи вырождения кривых второго порядка в прямую, пару прямых, точку или «мнимую» линию мы рассматривать не будем.

Определить тип кривой можно сразу по коэффициентам квадратичной формы :

если – эллиптический,

если – гиперболический,

если – параболический тип.

Для построения кривой необходимо сначала упростить уравнение (1), привести его к каноническому виду. Рассмотрим свойства и канонические уравнения перечисленных кривых.