И перпендикулярности прямой и плоскости

Пусть уравнения прямой l и плоскости π заданы уравнениями

, (l)

A x + B y + C z + D = 0. (π)

Угол между прямой и плоскостью будем определять как угол между прямой и её проекцией на плоскость. Обозначим через φ угол между плоскостью π и прямой l, а через θ угол между векторами (A, B, C) и (m,n,p) (см. рис. 3.14). Тогда . Найдём синус угла φ, считая, что φ ≤ .

Рис. 3.14.

, а так как , то получим

. (3.36)

Если прямая l параллельна плоскости π, то векторы и перпендикулярны и ∙ = 0, поэтому

A m + B n + C p = 0. (3.37)

Соотношение (3.37) является условием параллельности прямой и плоскости.

Если прямая l перпендикулярна плоскости π, то векторы и параллельны. Поэтому равенства

(3.38)

является условием перпендикулярности прямой и плоскости.