Рассмотрим напряжения, возникающие в жидкости, находящейся в поле тяжести или в поле сил инерции, когда сосуд с жидкостью может двигаться с ускорением.
Пусть к кубическому элементу жидкости объемом dV=dxdydz приложена внешняя сила F dV (F - сила, приложенная к единице объема жидкости, (рис. 2.2). В результате возникающих внутренних напряжений на нижнюю грань кубика с координатой x и площадью dy*dz в положительном направлении оси x действует сила давления величиной p(x,y,z)dydz, а на верхнюю грань - p(x+dx,y,z)dydz. При равновесии кубика, очевидно, необходимо, чтобы
|
| Рис. 2.2.
|
| p(x,y,z)dydz - p(x+dx,y,z)dydz + Fxdxdydz = 0
| (2.4а)
|
Аналогичные по смыслу равенства должны быть записаны и по двум оставшимся осям координат:
| p(x,y,z)dxdz - p(x,y+dy,z)dxdz + Fydxdydz = 0
| (2.4б)
|
| p(x,y,z)dxdy - p(x,y,z+dz)dxdy + Fzdxdydz = 0
| (2.4в)
|
Разделив левые и правые части записанных выше равенств на объем элемента, получаем условия равновесия в виде дифференциальных уравнений
| (2.5)
|
Уравнения (2.5) показывают, что давление не остается постоянным и изменяется в тех направлениях, по которым действует внешняя сила. Если ввести вектор градиента давления
| (2.6)
|
где ex, ey и ez - единичные векторы вдоль осей координат, то уравнения (2.5) запишутся в более компактном векторном виде
В соответствии со смыслом введенного в предыдущих лекциях вектора градиента скалярной величины из (2.7) следует, что давление наиболее быстро нарастает в направлении действия внешней силы F, а в перпендикулярных направлениях остается постоянным. Таким образом, можно говорить о поверхностях равного давления, нормаль к которым в каждой точке совпадает с направлением приложенной в этой точке внешней силы. Несложно рассчитать распределение давлений по объему жидкости, если принять во внимание, что компоненты внешней силы F выражаются через производные пока неизвестной скалярной функции координат p(x,y,z). Это означает, что сила F должна быть потенциальной и, следовательно, может быть выражена через потенциальную функцию U (потенциальную энергию единицы объема жидкости во внешнем поле) следующим образом:
Подставив (2.8) в (2.7), получим
| grad (p + U) = 0, или p + U = const.
| (2.7)
|
Константа в (2.9) определяется из условия нормировки потенциала и давления.
