Задачи для самостоятельного решения. Найти условный максимум функции при условии ,

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ МЕТОДОМ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА В СРЕДЕ MATHCAD

ЗАДАЧА

Найти условный максимум функции при условии , с помощью метода Лагранжа.

Решение:

Запишем уравнение связи в виде:

Составим функцию Лагранжа:

Найдем частные производные этой функции по x ₁, x ₂, l с использованием пакета MathCad. Для этого необходимо:

1. Установить режим автоматических вычислений (Math→Automatic Calculation).

2. Установив курсор на свободном месте документа, выполнить команду < Shift >+< / > (или выбрать на панели Calculus кнопку Derivative). Ввести в помеченных позициях выражение для функции и переменную, по которой вычисляется производная x₁, затем выполнить команду < Ctrl >+< Shift >+<. > (или выбрать на панели Symbolic кнопку Symbolic keyword Evaluation) и щелкнуть по рабочему документу правее и ниже стрелки. Выражение для производной будет отображено в рабочем документе справа от стрелки.

3. Вычислить аналогично частные производные для переменных x₂, l выполнив действия из п.2.

Получили частные производные:

Приравняв частные производные нулю получим систему уравнений. Решим ее в среде MathCad. Для этого необходимо:

1. Ввести с клавиатуры ключевое слово Given (дано).

2. Правее и ниже ключевого слова ввести левую часть первого уравнения системы, далее символьный знак равенства (нажмите на клавиатуре клавиши <Ctrl>+<=> и правую часть уравнения (нуль).

3. Аналогично ввести остальные уравнения системы.

4. Правее и ниже последнего уравнения системы ввести имя функции Find, перечислить в скобках имена переменных и выполнить команду < Ctrl >+< Shift >+<. > (или выбрать на панели Symbolic кнопку Symbolic keyword Evaluation) и щелкнуть по рабочему документу правее и ниже стрелки. Вычисленное решение системы будет отображено после щелчка мышью вне выделяющей рамки в рабочем документе справа от стрелки – в виде матрицы, каждый столбец который содержит одно из решений системы.

Фрагмент рабочего документа MathCad с соответствующими вычислениями приведен ниже.

Решив систему, получили стационарные точки. Выберем те значения х₁ и х₂, которые удовлетворяют условию .

x ₁ = 1, x₂ = 1 => .

Ответ: Условныймаксимум функции при условии , достигается в точках x ₁ = 1, x ₂ = 1.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

В задачах 1.1 – 1.5 найти условный экстремум с помощью метода Лагранжа.

1.1 при условии

1.2 при условии

1.3 при условии

1.4 при условии

1.5 при условии