Стандартное отклонение: самая распространенная характеристика

Лабораторная работа №3

Характеристики рассеяния данных

Одна из причин проведения статистического анализа заключается в необходимости учитывать влияние на исследуемый экономический показатель случайных факторов (возмущений), которые приводят к разбросу (рассеянию) данных. Решение задач, в которых присутствует разброс данных, связано с риском, поскольку даже при использовании всей доступной информации нельзя точно предугадать, что же произойдет в будущем. Для адекватной работы в таких ситуациях целесообразно понимать природу риска и уметь определять степень рассеяния набора данных. Существуют три числовые характеристики, описывающие меру рассеяния: стандартное отклонение, размах и коэффициент вариации (изменчивости). В отличие от типических показателей (среднее, медиана, мода), характеризующих центр, характеристики рассеяния показывают, насколько близко к этому центру располагаются отдельные значения набора данных.

Стандартное отклонение: самая распространенная характеристика

Стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) является мерой случайных отклонений значений данных от среднего.

Если все величины в наборе данных одинаковы, например

5,5; 5,5; 5,5; 5,5; 5,5; 5,5,

то среднее будет иметь значение , а стандартное отклонение S =0. Это указывает на отсутствие разброса данных.

В реальной жизни большинство данных характеризуется рассеянием, т.е. отдельные значения располагаются на некотором расстоянии от среднего. Например, значениями ставки доходности акций (в %) четырех компаний, выбранных случайным образом, являются:

43,0; 17,7; 8,7; –47,4

Средняя ставка доходности акций в этом случае также равна , однако отдельные значения данных существенно отличаются от среднего. Так, например, первая ставка превышает среднюю ставку на 37,5% (отклонение от среднего равно ), а последняя ставка оказывается ниже среднего на 52,9%, поскольку величина отклонения от среднего отрицательна ().

Использовать стандартное отклонение как обобщающую характеристику рассеяния, просто усреднив отклонения данных нельзя, потому что часть отклонений окажется положительной, а другая часть – отрицательной, и, вследствие этого, результат усреднения может оказаться равным нулю. Чтобы избавиться от отрицательного знака, применяют стандартный прием: сначала вычисляют дисперсию как сумму квадратов отклонений, поделенную на (n –1), а затем из полученного значения извлекают квадратный корень. Формула для вычисления стандартного отклонения выглядит следующим образом:

Замечание 1. Дисперсия не несет никакой дополнительной информации по сравнению со стандартным отклонением, однако ее сложнее интерпретировать, т. к. она выражается в «единицах в квадрате» (например, в «долларах в квадрате»), в то время как стандартное отклонение выражено в привычных для нас единицах (например, в долларах).

Замечание 2. Приведенная выше формула предназначена для расчета стандартного отклонения по выборке и более точно называется выборочное стандартное отклонение. При расчете стандартного отклонения генеральной совокупности (обозначается символом s) производят деление на n. Величина выборочного стандартного отклонения получается несколько больше (т. к. делят на n –1), что обеспечивает поправку на случайность самой выборки.

В случае, когда набор данных имеет нормальное распределение, стандартное отклонение приобретает особый смысл. На рисунке, представленном ниже, по обе стороны от среднего сделаны отметки на расстоянии одного, двух и трех стандартных отклонений соответственно.

Из рисунка видно, что примерно 66,7% (две трети) всех значений находятся в пределах одного стандартного отклонения по обе стороны от среднего значения, 95% значений окажутся в пределах двух стандартных отклонений от среднего и почти все данные (99,7%) будут находиться в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения. Это свойство стандартного отклонения для нормально распределенных данных называется «правилом двух третей». В некоторых ситуациях, например при анализе контроля качества продукции, часто устанавливают такие пределы, чтобы в качестве заслуживающей внимание проблемы рассматривались те результаты наблюдений (0,3%), которые отстоят от среднего на расстоянии большем, чем три стандартных отклонения. К сожалению, если данные не подчиняются нормальному распределению, то описанное выше правило применять нельзя. В настоящее время существует ограничение, называемое правилом Чебышева, которое можно применять к ассиметричным (скошенным) распределениям.

Задание 1.

Вычислить и проанализировать стандартное отклонение дневной прибыли на фондовой бирже.

Размеры прибыли на фондовой бирже меняются каждый день. В таблице 1 представлена динамика изменений дневной прибыли на бирже, зафиксированной в рабочие дни за период от 31 июля по 9 октября 1987 года.

Таблица 1. Динамика изменения дневной прибыли на бирже

Дата	Дневная прибыль	Дата	Дневная прибыль	Дата	Дневная прибыль
	-0,006		0,009		0,012
	-0,004		-0,015		-0,004
	0,008		-0,006		0,002
	0,011		0,002		-0,008
	-0,001		0,011		-0,010
	0,017		0,013		-0,013
	0,017		0,002		0,009
	-0,004		-0,018		-0,020
	0,008		-0,014		-0,003
	-0,002		-0,001		-0,001
	0,006		-0,001		0,017
	-0,017		-0,013		0,001
	0,004		0,030		-0,000
	0,015		0,007		-0,035
	0,001		-0,007		0,001
	-0,005		0,001		-0,014

1. Откройте программу Excel. Щелкните на кнопке Сохранить на Панели быстрого доступа. В появившемся диалоговом окне откройте папку Статистика ххх и задайте имя файлу Характеристики рассеяния.xlsх. Зашифруйте файл, задав пароль.

2. На Листе1 в ячейке A1 задайте метку Дневная прибыль, а в диапазон A2:A49 введите данные из Таблицы 1.

3. В ячейку D1 введите метку Среднее. В ячейке D2 вычислите среднее, используя статистическую функцию СРЗНАЧ. Уменьшите разрядность полученного результата до четвертого знака после запятой.

4. В ячейку D4 введите метку Стандартное отклонение. В ячейке D5 вычислите стандартное отклонение, используя статистическую функцию СТАНДОТКЛОН. Уменьшите разрядность полученного результата до четвертого знака после запятой.