СМО с ограниченной и неограниченной очередью

Рассмотрим СМО с n каналами. Входной поток – простейший с интенсивностью . Выходной поток – простейший. Интенсивность потока заявок, обслуживаемых одним каналом, равна . Если все каналы заняты, заявка становится в очередь. Число мест в очереди равно m. Состояние системы: – все каналы свободны, очереди нет; – одни канал занят, очереди нет; …, – n каналов занято, очереди нет; – заняты все каналы и одно место в очереди, …, – заняты все каналы и все места в очереди. Граф состояний (рис. 9).

Рис. 9.

Переходы возможны только, если освободится канал, причем задействованы все n каналов. Поэтому интенсивности каждого из потоков равны . Пусть По формулам (3), т. к. получим:

.

Справедливы формулы:

. (2)

Характеристики эффективности:

1).

2).

3).

4).

5).

6). Среднее число занятых мест в очереди .

Рассмотрим ряд распределения занятых мест в очереди:

r				…	M
p				…

Отсюда следует

Пример. СМО – аэродром с двумя посадочными полосами. Входной поток – простейший с интенсивностью 2 самолета/час. Среднее время посадки 15 минут. Если полоса занята, 1 самолет может ожидать посадки в зоне аэропорта. Найти предельные вероятности и характеристики эффективности.

Решение. Состояния системы: – все полосы свободны; – одна полоса занята; – 2 полосы заняты; – 2 полосы заняты, 1 самолет ожидает. СМО с ожиданием:

Рис. 10

По формулам (2) получим:

;

.

1). 2).

3). 4).

5).

6).

Для систем с неограниченной очередью очень важным является вопрос, будет ли очередь лавинообразно нарастать. Для ответа на него в формулах (2) перейдем к пределу при . В частности, рассмотрим вероятность :

.

Если , ряд в знаменателе сходится, и следовательно, предельные вероятности существуют. Если , то стационарного режима нет: (входной поток больше, чем максимально могут обслужить n каналов). Очередь лавинообразно нарастает.

Рекомендуемая литература

1. Е.С. Вентцель. Исследование операций. М.: «Высшая школа», 2001.

2. Г.П. Фомин. Системы и модели массового обслуживания в коммерческой

деятельности. М.: «Финансы и статистика», 2000.

3. В.П. Чернов, В.Б. Ивановский. Теория массового обслуживания. М.: Инфра-М, 2000.

4. Е.С. Вентцель., Л.А. Овчаров. Задачи и упражнения по теории вероятностей. М.: «Высшая школа», 2000.

[1] Симео́н Дени́ Пуассо́н (фр. Siméon Denis Poisson, 21 июня 1781, Питивье, Франция — 25 апреля 1840, Со) — знаменитый французский физик и математик

[2] Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Так же возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков, для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности. Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчетом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчетам

[3] Агнер Краруп Эрланг (англ. Agner Krarup Erlang; 1 января 1878, Лонборг, Дания — 3 февраля, 1929) — датский математик, статистик и инженер, основатель научного направления по изучению трафика в телекоммуникационных системах и теории массового обслуживания.

[4] Ма́рков, Андре́й Андре́евич (2 (14) июня 1856, Рязань — 20 июля 1922, Петроград, ныне Санкт-Петербург) — русский математик, академик, внёсший большой вклад в теорию вероятностей, математический анализ и теорию чисел.

[5] Андре́й Никола́евич Колмого́ров (урождённый Катаев, 12 (25) апреля 1903, Тамбов — 20 октября 1987, Москва) — советский математик, один из крупнейших математиков ХХ века. Колмогоров — один из основоположников современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, геометрии, математической логике, классической механике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов, теории информации, теории функций, теории тригонометрических рядов, теории меры, теории приближения функций, теории множеств, теории дифференциальных уравнений, теории динамических систем, функциональном анализе и в ряде других областей математики и её приложений. Колмогоров также автор новаторских работ по философии, истории, методологии и преподаванию математики.