Завдання. Метою роботи є дослідити розподіл геолого-геофізичної інформації і оцінити характеристики розподілу випадкових величин

Лабораторна робота №3

ДОСЛІДЖЕННЯ НЕОДНОРІДНОСТІ ПЕТРОФІЗИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ГЕОЛОГІЧНОГО ПРОСТОРУ.

Мета роботи

Метою роботи є дослідити розподіл геолого-геофізичної інформації і оцінити характеристики розподілу випадкових величин. Визначити критерії розподілу виміряних і теоретично побудованих типів розподілів. Надати інформацію з неоднорідності параметрів геологічного простору за побудовою кривої розподілу імовірності випадкової фізичної величини.

Завдання

В процесі виконання роботи студент повинен розрахувати числові статистичні характеристики досліджуваного параметра, визначити фактичний закон розподiлу даного параметра, провести перевірку відповідності фактичного закону розподілу досліджуваного параметра нормальному.

3.3 Теоретичні відомості

Найбільш повно описує випадкову величину її функція розподілу. Деяке кількісне уявлення про випадкову величину дають такі важливі характеристики випадкової величини, як математичне очікування і дисперсія. Вони характеризують у загальному вигляді середнє і розкид в досліджуваній генеральній сукупності.

До числових характеристик одномірного розподілу частот відносяться:

1) Центр групування результатів вимірів. Для визначення дійсного значення вимірюваної величини, для оцінки точності результатів вимірів, математичних операцій над досліджуваними величинами необхідно знати їх закони розподілу. Така задача розв’язується шляхом пошуку центру групування результатів вимірів і показника, що характеризує розсіювання таких результатів біля центру групування.

Центр групування визначається такими числовими характеристиками, як математичним очікуванням, модою, медіаною та іншими середніми.

Математичне очікування (середнє) – це найбільш вірогідне значення вимірюваної величини із однаковим ступенем його точності:

, (3.1)

де – середнє значення інтервалу групування;

n_і, – число вимірів параметра, які потрапляють в певний інтервал;

n – об’єм вибірки.

Виміри, які виконуються при однакових основних умовах, називаються рівноточними. Центр групування результатів таких вимірів визначається простим арифметичним середнім:

. (3.2)

Точність визначення середньоарифметичного значення характеризується похибкою, яка визначається за формулою:

. (3.3)

Якщо n →∞ величина, то σ _ср прямує до нуля, і тим більш точно визначається середньоарифметичне значення.

Модою дискретної випадкової величини називають її найбільш імовірне значення, а неперервної - те її значення, в якому густота розподілу максимальна. Якщо крива закону розподілу має більше одного максимуму, то розподіл називають відповідно двомодальним, тримодальним або полімодальним. На практиці моду визначають як значення х, якому відповідає максимальна абсолютна частота в таблиці частот. Мода – це значення параметра в середині інтервалу із найбільшою частотою.

Важливою числовою характеристикою розподілу для вимірів об’єму n є медіана, або середнє значення досліджуваного параметра. Медіаною випадкової величини називають таке її значення, відносно якого однаково ймовірно виявлення випадкової величини більше або менше цього значення. Геометрична медіана – це точка абсциси, в якій площа, що обмежена кривою розподілу, ділиться навпіл. Медіану визначають переважно в тих випадках, коли розподіл досліджуваного параметра асиметричний. Медіана – це значення параметра, яке відповідає 50 % накопиченої частковості.

2) Розсіювання результатів вимірів. Тісноту розташування результатів вимірів або значень незалежної величини біля центра групування інтерпретують різними характеристиками розсіювання досліджуваної випадкової величини. Найбільше часто такими характеристиками є дисперсія, стандарт (середнє квадратичне відхилення), розмах і коефіцієнт варіації.

Дисперсія характеризує величину відхилення окремих значень від середнього і відмінність значень один від одного, тобто розмір варіації даної величини, визначається за формулою:

. (3.4)

Стандарт (середньоквадратичне відхилення) розраховується з метою оцінки розкиду окремих значень біля середнього, тобто для характеристики ступеня неоднорідності породи. Він визначається за формулою:

. (3.5)

Розмах є найпростішою мірою розсіювання досліджуваного параметра. Розмах R – це різниця між найбільшим (х_max) і найменшим значенням (х_min) вибірки досліджуваного параметра:

. (3.6)

Відношення середньоквадратичного відхилення (S) до середнього значення () називається коефіцієнтом варіації, або мінливість, і позначається через V:

. (3.7)

Коефіцієнт варіації рівний стандартному відхиленню, коли середнє значення рівне одиниці. Іншими словами: коефіцієнт варіації є відносна безрозмірна міра розсіювання із одиничним середнім значенням. Часто користуються також стандартним відхиленням в процентах від арифметичного середнього:

. (3.8)

При використанні коефіцієнта варіації слід звертати увагу на те, щоб значення х_і було позитивним. Значення V виражає середньоквадратичне відхилення S в процентах від середнього арифметичного ряду вимірювань і тому може бути використане для порівняння двох емпіричних розподілів одного типу по їх розсіюванні відносно середнього.

Найбільш часто в практиці промислово-геофізичних досліджень зустрічаються наступні закони розподілу досліджуваних випадкових величин: 1) нормальний; 2) логарифмічно-нормальний; 3) закон Максвела; 4) закон Пуассона; 5) біномінальний і його модифікації.

Зупинимось детально на аналізі нормального закону розподілу випадкових величин – як найбільш розповсюдженого. Нормальний закон розподілу із щільністю розподілу має вигляд:

(3.9)

де S _x, М _х – відповідно середньоквадратичне відхилення та математичне очікування досліджуваної величини (х).

Цей тип закону розподілу має широке розповсюдження у природі, в тому числі густина і швидкість пружних хвиль для зразків гірських порід розподілена нормально. Для нормально розподіленої величини практично все розсіювання, тобто відхилення від середнього , входить в інтервал .

Основними властивостями кривої нормального закону розподілу досліджуваної випадкової величини є:

– крива розподілу симетрична відносно осі ординат, яка проходить через точку М _х.

– крива містить один максимум при , який рівний ;

– при х →∞ гілки кривої асимптотично наближаються до осі х;

– зміна математичного очікування М _х при приводить до зміщення кривої розподілу вздовж осі абсцис;

– середньоквадратичне відхилення S_х характеризує форму кривої розподілу. Це і є характеристика розподілу значень досліджуваної випадкової величини біля середнього.

Для перевірки припущення про характер закону розподілу досліджуваної ознаки, а також для порівняння окремих числових характеристик різних вибірок між собою використовують поняття гіпотези і критерію значимості.

Будь-яке припущення відносно розподілу досліджуваної випадкової величини х називають статистичною гіпотезою, а правило, по якому на основі отриманих даних приймають або відкидають гіпотезу називають критерієм її перевірки.

Для перевірки гіпотези відповідності статистичної функції розподілу теоретичній функції (наприклад, функції розподілу нормального закону) на практиці при обробці геолого-геофізичних даних набули широкого розповсюдження критерії Колмогорова і Пірсона.

Найбільш точним являється критерій Пірсона:

(3.10)

де w _i– число значень досліджуваного параметра в і -му розряді гістограми (досліджувана частота);

w _і.m – теоретичне число значень досліджуваного параметра в і -му розряді гістограми (теоретична частота , де р _і – вірогідність подібності досліджуваного розподілу із теоретичним; n – величина вибірки);

m – число інтервалів групування.

Розрахувавши по даним вибірки досліджуване значення χ ² і порівнявши його із табличним χ_т ² (при заданому рівні значимості α і числу степенів свободи , де l – число зв’язків, які накладаються на вибірку), приймаємо нульову гіпотезу, якщо χ ²≤ χ_т ², і відкидуємо, якщо χ ²> χ_т ².

При співставленні статистичної функції із нормальним законом розподілу l =3.

Перевіряючи гіпотезу про відповідність фактичного закону розподілу досліджуваного параметра нормальному, ми можемо її прийняти, відкинути або прийти до висновку, що для прийняття рішення недостатньо даних. При цьому можуть бути допущені похибки двох родів. Гіпотеза може бути відкинута як неправильна, хоча вона вірна – це похибка першого роду. Гіпотеза може бути прийнята як правильна, хоча вона невірна – це похибка другого роду. Імовірність допустити похибку першого роду називають рівнем значимості і позначають a. Величина a вибирається досить малою за принципом практичної неможливості малоймовірних подій. В геології і геофізиці приймають для a одне із стандартних значень: 0,1 або 0,05, тобто десяти- і п’яти відсотковий рівень значимості. Чим менше рівень значимості, тим менша ймовірність відкинути висунуту гіпотезу.

Для більш точної оцінки відхилення фактичного закону розподілу досліджуваного геолого-геофізичного параметра вiд нормального розраховуються спеціальні статистичні характеристики – вибіркові коефіцієнти асиметрії А i ексцесу Е.

(3.11)

(3.12)

При нормальному розподілу значення коефіцієнтів асиметрії i ексцесу дорівнюють нулю. Додатні значення коефіцієнту асиметрії А (А >0) свідчать про правоасиметричність кривої фактичного закону розподілу сукупності геологічних параметрів, а від’ємні (А <0) про лiвоасиметричність. Від’ємний коефіцієнт Е (Е <0) вказує на плосковершинність графіка фактичного закону розподілу вибірки параметрів, а додатній (Е >0) – на гостровершинність.

3.4 Послідовність виконання роботи

1. Використовуючи вихідні дані, видані індивідуально кожному студенту викладачем (додаток А), необхідно побудувати гістограми розподілу досліджувананих параметрів та кумулятивну криву.

2. Розрахувати основні статистичні характеристики розподілу досліджуваних параметрів: математичне очікування та його похибку; дисперсію; стандарт; розмах; коефіцієнт варіації.

3. За визначеними статистичними характеристиками зробити висновок про розподіл досліджуваного параметра.

4. Провести оцінку відповідності фактичного закону розподілу досліджуваного параметра нормальному

3.5 Оформлення звіту

Звіт про виконану роботу повинен містити методичні вказівки до виконання роботи, побудовані гістограми розподілу і кумулятивні криву досліджуваного параметра та результати розрахунків статистичних характеристик розподілу досліджуваних параметрів. За результатами виконаної роботи зробити висновки.

3.6 Контрольні запитання

1. Які статистичні параметри характеризують розподіл досліджуваних геолого-геофізичних величини?

2. Що таке математичне очікування?

3. Що таке мода і медіана?

4. Що таке дисперсія?

5. Що таке розмах та коефіцієнт варіації?

6. Які найбільш розповсюджені закони розподілу випадкових величин?

7. Назвіть основні властивості кривих нормального розподілу випадкових величин.

8. Що таке гіпотеза та критерій її перевірки?

9. В чому полягає суть перевірки статичної гіпотези по критерію Пірсона?

10. Що характеризує асиметрiя i ексцес розподілу досліджуваного параметра?