Запас устойчивости САУ [7]

Понятие структурной устойчивости. АФЧХ астатических САУ может быть неустойчивой по двум причинам: неподходящий состав динамических звеньев и неподходящие значения параметров звеньев.

САУ, неустойчивые по первой причине, называются структурно неустойчивыми. Это означает, что изменением параметров САУ нельзя добиться ее устойчивости, нужно менять ее структуру.

Рис. 4.3.1.

Например, если САУ состоит из любого количества инерционных и колебательных звеньев, она имеет вид, показанный на рис. 4.3.1. При увеличении коэффициента усиления САУ K каждая точка ее АФЧХ удаляется от начала координат, пока при некотором значении К_крит АФЧХ не пересечет точку (-1, j0). При дальнейшем увеличении K, САУ будет неустойчива. И, наоборот, при уменьшении K такую САУ, в принципе, можно сделать устойчивой, поэтому ее называют структурно устойчивой.

Если САУ астатическая, то n - порядок астатизма, равен количеству последовательно включенных интеграторов. При ее размыкании характеристическое уравнение системы имеет нулевые корни, поэтому при w®∞ АФЧХ стремится к ∞ (рис. 4.2.5в и 4.2.5г). Например, пусть W_р(p) = K/(p(Tp+1)), тогда АФЧХ разомкнутой САУ:

W(jw) = = P(w) + jQ(w).

Рис. 4.3.2.

Так как порядок знаменателя больше порядка числителя, то при w®0 имеем P(w)®∞, Q(w)® -j∞. Подобная АФЧХ представлена на рис. 4.3.2. Так как АФЧХ терпит разрыв, трудно сказать, охватывает ли она точку (-1,j0). В этом случае пользуются следующим приемом: если АФЧХ терпит разрыв, уходя в бесконечность при w®0, ее дополняют мысленно полуокружностью бесконечного радиуса, начинающейся на положительной вещественной полуоси и продолжающейся до АФЧХ в отрицательном направлении. После этого можно применить критерий Найквиста. Как видно из рисунка, САУ, имеющая одно интегрирующее звено, является структурно устойчивой.

Рис. 4.3.3.

Если САУ имеет два интегрирующих звена (порядок астатизма 2), ее АФЧХ уходит в бесконечность во втором квадранте (рис. 4.3.3). Например, пусть W_р(p) = K/(p² (Tp+1)), тогда АФЧХ САУ:

W(jw) = = P(w) + jQ(w).

При w®0 имеем P(w)® -∞, Q(w)® j∞. Такая САУ не будет устойчива ни при каких значениях параметров, то есть она структурно неустойчива.

Структурно неустойчивую САУ можно сделать устойчивой, включив в нее корректирующие звенья (например, дифференцирующие) или изменив структуру САУ, например, с помощью местных обратных связей.

Понятие запаса устойчивости. В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать САУ так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости.

Рис. 4.3.4.

Согласно критерию Найквиста, чем дальше АФЧХ от критической точки (-1, j0), тем больше запас устойчивости. Различают запасы устойчивости по модулю и по фазе.

Запас устойчивости по модулю характеризует удаление годографа АФЧХ разомкнутой САУ от критической точки в направлении вещественной оси и определяется расстоянием h от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс (рис. 4.3.4).

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом j между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

Рис. 4.3.5.

Как уже отмечалось, с ростом коэффициента передачи разомкнутой САУ растет модуль каждой точки АФЧХ и при некотором значении K = K_кр АФЧХ пройдет через критическую точку (рис. 4.3.5а) и попадет на границу устойчивости, а при K > K_кр замкнутая САУ станет неустойчива. Однако в случае АФЧХ типа 1 (рис. 4.2.4) (получаются из-за наличия внутренних обратных связей) не только увеличение, но и уменьшение K может привести к потере устойчивости замкнутых САУ (рис. 4.3.5в). В этом случае запас устойчивости определяется двумя отрезками h₁ и h₂, заключенными между критической точкой и АФЧХ.

Рис. 4.3.6.

Обычно при создании САУ задаются требуемыми запасами устойчивости h и j, за пределы которых она выходить не должна. Эти пределы выставляются в виде сектора, вычерчиваемого вокруг критической точки, в который АФЧХ разомкнутой САУ входить не должна (рис. 4.3.6).

Анализ устойчивости по ЛЧХ. Оценку устойчивости по критерию Найквиста удобнее производить по ЛЧХ разомкнутой САУ. Очевидно, что каждой точке АФЧХ будут соответствовать определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Рис. 4.3.7.

Пусть известны частотные характеристики двух разомкнутых САУ (1 и 2), отличающихся друг от друга только коэффициентом передачи K₁ < K₂. Пусть первая САУ устойчива в замкнутом состоянии, вторая нет (рис. 4.3.7).

Если W₁(p) - передаточная функция первой САУ, то передаточная функция второй САУ W₂(p) = K W₁(p), где K = K₂/K₁. Вторую САУ можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями K (безынерционное звено) и W₁(p), поэтому результирующие ЛЧХ строятся как сумма ЛЧХ каждого из звеньев. Поэтому ЛАЧХ второй САУ: L₂(w) = 20 lg K + L₁(w), а ЛФЧХ: j₂(w) = j₁(w).

Пересечениям АФЧХ вещественной оси соответствует значение фазы j = -p. Это соответствует точке пересечения ЛФЧХ j = -p линии координатной сетки. При этом, как видно на АФЧХ, амплитуды A₁(w) < 1, A₂(w) > 1, что соответствует на ЛАЧХ значениям L₁(w) = 20 lg A₁(w) < 0 и L₂(w) > 0.

Сравнивая АФЧХ и ЛФЧХ можно заключить, что система в замкнутом состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ j = -p будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот. Запасам устойчивости по модулю h₁ и h₂, определенным по АФЧХ соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где j = -p, но в логарифмическом масштабе.

Особыми точками являются точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Частоты w_c1 и w_c2, при которых это происходит, называют частотами среза.

В точках пересечения A(w) = 1 = > L(w) = 0 - ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось. Если при частоте среза фаза АФЧХ j_c1 > -p (рис. 4.3.7а кривая 1), то замкнутая САУ устойчива. На рис. 4.3.7б это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии j = -p. И, наоборот, для неустойчивой замкнутой САУ (рис. 4.3.7а кривая 2) j_c2 < -p, поэтому при w = w_c2 ЛФЧХ проходит ниже линии j = -p. Угол j₁ = j_c1-(-p) является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию от линии j = -p до ЛФЧХ.

Исходя из сказанного, критерий устойчивости Найквиста по логарифмическим ЧХ, в случаях, когда АФЧХ только один раз пересекает отрезок вещественной оси [-∞; -1], можно сформулировать так: для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы частота, при которой ЛФЧХ пересекает линию j = -p, была больше частоты среза.

Если АФЧХ разомкнутой САУ имеет сложный вид, то ЛФЧХ может несколько раз пересекать линию j = -p. В этом случае применение критерия Найквиста несколько усложняется. Однако во многих случаях данной формулировки критерия Найквиста оказывается достаточно.