Непараметрические статистики; статистика Манна-Уитни

Критерий применяется для проверки идентичности двух совокупностей.

Пусть взята выборка x объемом n и выборка y объемом m, и предполагаем, что выборки взяты из одного ансамбля.
(n+m) наблюдений записываем в порядке возрастания и при этом фиксируем ранг или номер позиции.
(n+m)! / n!m!
- общее количество таких структур.
R₁ - сумма рангов (X)
R₂ - сумма рангов (Y)
U₁ = n*m + n(n+1)/2 - R₁
U₂ = n*m + m(m+1)/2 - R₂

U_кр рассчитывается по таблице в зависимости от a, m, n.
U = min(U₁,U₂)
Сравниваются значения U_кр и U (Н₀ отвергается, если U < U_кр)

Планирование эксперимента. Основные определения.

Основные понятия.

- Активный эксперимент
- Пассивный эксперимент
Основная идея активного эксперимента - добиться требуемых свойств, выбирая условия проведения эксперимента.
1. План эксперимента X
1 £ j £ n 1 £ i £ N
n - число факторов, N - число экспериментов
xⁱ = (x₁ⁱ, x₂ⁱ,..., x_nⁱ)¢

x₁¹, x₂¹,..., x_n¹
X = x_jⁱ = x₁², x₂²,..., x_n²
......
x₁^N, x₂^N,..., x_n^N

2. Центр плана

3. Центральный план - это план, в котором центр расположен в начале координат.

4. Область определения. Нормированные переменные.

Пусть
x_j^*- реальные факторы
x_j - нормированные факторы
-1£ x_j £ 1 1£ j £ n
n - факторы
Надо определить x_j^*_min и x_j^*_max x_j = [x_j^*- (x_j^*_min + x_j^*_max)/2] / [(x_j^*_max - x_j^*_min)/2]
5. Матрица M = F¢F

y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ +... + a_nx_n

М - информационная матрица плана X размерности (k+1)´(k+1) det(A-lI) = 0, где l - корни характеристического уравнения.

План X, которому соответствует диагональная информационная матрица, называется ортогональным. Если при применении МНК какие-либо коэффициенты а оказываются незначимыми, то в общем случае необходимо произвести перерасчет коэффициентов для новой модели. Если использовался критерий ортогональности плана, то замена на 0 любого коэффициента в уравнении модели не изменит оценок других коэффициентов.
Преимущества ортогонального плана:
а) упрощение вычислений
б) независимые коэффициенты оценок

6. Свойство ротатабельности
План X является ротатабельным, если дисперсия оценки зависит только от расстояния точки x от центра плана.