Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
В этом пункте укажем базисы и размерности наиболее часто встречающихся линейных пространств, введенных в пункте 2. Для каждого конечномерного линейного пространства обычно определяют так называемый элементарный (стандартный) базис (наиболее простой и удобный при решении задач). Также дадим критерии проверки того, при каком условии заданная система векторов является базисом линейного пространства.
1) Линейное пространство . Элементарным базисом в является упорядоченная система -мерных вектор-столбцов
, ,
где все компоненты вектор-столбца () равны нулю, кроме одной, которая равна единице и располагается в позиции, указываемой номером в его обозначении. Таким образом, .
Нетрудно доказать, что упорядоченная система -мерных вектор-столбцов
, (1.11)
где (), является базисом пространства тогда и только тогда, когда квадратная -матрица
,
столбцами которой являются векторы (), является неособенной матрицей.
При этом если задан вектор-столбец , то для нахождения координатного вектор-столбца в базисе (1.11) достаточно решить систему линейных алгебраических уравнений
,
которая в силу неособенности матрицы , имеет единственное решение.
2) Линейное пространство . Элементарным базисом в является упорядоченная система матриц
,
где все элементы матрицы () равны нулю, кроме одного, который равен единице и располагается в позиции, указываемой двумя номерами в обозначении. Таким образом, .
Нетрудно доказать, что упорядоченная система матриц
, (1.12)
где (), является базисом в тогда и только тогда, когда матрица
,
столбцами которой являются вектор-столбцы
(),
является неособенной квадратной матрицей.
При этом если задана матрица (), то для нахождения координатного вектор-столбца этой матрицы в базисе (1.12) достаточно решить систему линейных алгебраических уравнений
,
где , которая в силу неособенности матрицы , имеет единственное решение.
3) Линейное пространство
.
Известно (см. п. 2), что если , то система уравнений
имеет ровно линейно независимых решений, образующих фундаментальную систему решений (ФСР):
, (1.13)
где .
При этом любое решение можно выразить в виде
,
где коэффициенты определяются однозначно. При этом координатный вектор-столбец вектора имеет вид . Таким образом, система (1.13) является базисом в пространстве и .
Пример 1.2. Найти базис и размерность пространства решений системы
Решение. Приводим матрицу системы к ступенчатому виду
.
Ранг матрицы . Принимая переменные за базисные, а за свободные (обозначаем при этом ), получим общее решение рассматриваемой ОСЛАУ
Составляем базис пространства решений (фундаментальную систему решений, при этом ):
.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 745 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!