критерий Пирсона

Назначение критерия

Критерий применяется в двух случаях:

1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоре­тическим – равномерным, нормальным или каким-то иным,

2) для сопоставления двух, трех или более эмпирических распределений одного и того же признака*

Описание критерия

Критерий отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях.

Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопоставлять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований. В самом простом случае альтернативного распределения «да – нет», «допустил брак – не допустил брака», «решил задачу – не решил задачу» и т. п. мы уже можем применить критерий .

Гипотезы

Возможны несколько вариантов гипотез, в зависимости от задач, которые мы перед собой ставим.

Первый вариант:

Н₀: Полученное эмпирическое распределение признака не отличается от теоретического (например, равномерного) распределения.

H₁: Полученное эмпирическое распределение признака отличается от теоретического распределения.

Второй вариант:

Н₀: Эмпирическое распределение 1 не отличается от эмпирического распределения 2.

H₁: Эмпирическое распределение 1 отличается от эмпирического рас­пределения 2.

Третий вариант:

Н₀: Эмпирические распределения 1, 2, 3,... не различаются между собой.

H₁: Эмпирические распределения 1, 2, 3,... различаются между собой.

Критерий позволяет проверить все три варианта гипотез.

Ограничения критерия

1. Объем выборки должен быть достаточно большим . При критерий дает весьма приближенные значения. Точность критерия повышается при больших п.
2. Теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5: . Это означает, что если число разрядов задано заранее и не может быть изменено, то мы не можем применять метод , не накопив определенного минимального числа наблюдений. (Если, например, мы хотим проверить наши предположения о том, что частота обращений в телефонную службу Доверия неравномерно распределяются по 7 дням недели, то нам потребуется обращений. Таким образом, если количество разрядов (k) задано зара­нее, как в данном случае, минимальное число наблюдений (n_min) оп­ределяется по формуле: ).
3. Выбранные разряды должны «вычерпывать» все распределение, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопостав­ляемых распределениях.
4. Необходимо вносить «поправку на непрерывность» при сопоставле­ии распределений признаков, которые принимают всего 2 значения. При внесении поправки значение уменьшается.
5. Разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может быть отнесено ни к какому другому разряду. Сумма наблюдений по разрядам всегда должна быть равна общему количеству наблюдений.

Алгоритм расчета критерия

1 Занести в таблицу наименования разрядов и соответствующие им эмпирические частоты (первый столбец).

2 Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (второй столбец).

3 Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в третий столбец.

4 Определить число степеней свободы по формуле: , где k – количество разрядов признака. Если , внести поправку на «непрерывность».

5 Возвести в квадрат полученные разности и занести их в четвертый столбец.

6 Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую часто­ту и записать результаты в пятый столбец.

7 Просуммировать значения пятого столбца. Полученную сумму обо­значить как .

8 Определить по таблице приложения критические значения для данного числа степеней свободы .

Если меньше критического значения, расхождения между распределениями статистически недостоверны.

Если равно критическому значению или превышает его, рас­хождения между распределениями статистически достоверны.

Шутливый пример

В гениальной комедии Н. В. Гоголя "Женитьба" у купеческой дочери Агафьи Тихоновны было пятеро женихов. Одного она сразу исключила из рассмотрения, потому что он был купеческого звания, как и она сама. А из остальных она не знала, кого выбрать. Она положила бумажки с четырьмя именами в ридикюль, пошарила рукою в ридикюле и вынула вместо одного – всех!

Ей хотелось, чтобы жених совмещал в себе достоинства всех четверых, и, вынимая все бумажки вместо одной, она бессознательно совершала процедуру выведения средней величины. Но вывести среднюю величину из четверых людей невозможно, и Агафья Тихоновна в смя­ении. Она влюблена, но не знает, в кого.

С помощью критерия можно было бы попробовать установить, в кого больше влюблена Агафья Тихоновна. Но для этого нам не нужно измерять губы Никанора Ивановича или нос Ивана Кузьмича, или объем талии дородного экзекутора Ивана Павловича; не нужно нам и пускаться на какие-нибудь опасные эксперименты, чтобы определить, насколько далеко простирается развязность Балтазара Балтазарыча. Мы эти их достоинства принимаем как данность потому лишь, что они нравятся Агафье Тихоновне. Мы принимаем их за разряды одного и того же признака, например, направ­ленности взгляда Агафьи Тихоновны: сколько раз она взглянула на губы Никанора Ивановича? На нос Ивана Кузьмича? Благосклонно взирала на дородного Ивана Павловича или развязного Балтазара Балтазаровича? Внимательная сваха или тетушка вполне могла бы этот признак наблюдать. Допустим, за полчаса смотрин ею зафиксированы следующие наблюдения.

Агафья Тихоновна:

сидела с опущенными глазами благосклонно смотрела на Никанора Ивановича благосклонно смотрела на Ивана Кузьмича благосклонно смотрела на Ивана Павловича благосклонно смотрела на Балтазара Балтазарыча

25 минут 14 раз; 5 раз; 8 раз; 5 раз.

Представим это в виде таблицы.

Распределение взгляда Агафьи Тихоновны между 4 женихами

Женихи	Никанор Иванович	Иван Кузьмич	Иван Павлович	Балтазар Балтаэарыч	Всего взглядов
Количество взглядов

Теперь нам нужно сопоставить полученные эмпирические частоты с теоретическими. Если Агафья Тихоновна никому не отдает предпочтения, то данное распределение показателя направленности ее взгляда не будет отличаться от равномерного распределения: она на всех смотрит примерно с одинаковой частотой. Но если достоинства одного из женихов чаще притягивают ее взор, то это может быть основанием для матримониального решения.

Гипотезы

Н₀: Распределение взглядов Агафьи Тихоновны между женихами не отличается от равномерного распределения.

H₁: Распределение взглядов Агафьи Тихоновны между женихами отли­чается от равномерного распределения.

Теперь нам нужно определить теоретическую частоту взгляда при равномерном распределении. Если бы все взгляды невесты распределялись равномерно между 4-мя женихами, то, по-видимому, каждый из них получил бы по ¼ всех взглядов.

Переведем эти рассуждения на более формализованный язык. Теоретическая частота при сопоставлении эмпирического распределения с равномерным определяется по формуле:

где п – количество наблюдении;

k – количество разрядов признака.

В нашем случае признак – взгляд невесты, направленный на кого-либо из женихов; количество разрядов признака равно 4 (направления взгляда по количеству женихов); количество наблюдений – 32.

Итак, в нашем случае:

Теперь мы будем сравнивать с этой теоретической частотой все эмпирические частоты.

На рисунке сопоставления эмпирических частот с теоретической представлены графически.

Сопоставление эмпирических частот взгляда Агафьи Тихоновны на каждого из женихов (столбики гистограммы) с теоретической частотой (горизонтальная планка); темной штриховкой отмечены области расхождений между эмпирическими н теоретическими частотами

Похоже, что области расхождений достаточно значительны, и Никанор Иванович явно опережает других женихов. Иван Павлович еще может на что-то надеяться, но для Ивана Кузьмича и Балтазара Балтазарыча отставка, по-видимому, неизбежна.

Однако для того, чтобы доказать неравномерность полученного эмпирического распределения, нам необходимо произвести точные расчеты. В методе они производятся с точностью до сотых, а иногда и до тысячных долей единицы.

Расчет критерия при сопоставлении эмпирического распределения взгляда Агафьи Тихоновна между женихами с равномерным распределением

Разряды – женихи
	Никанор Иванович					4,500
	Иван Кузьмич			-3		1,125
	Иван Павлович					0,000
	Балтазар Балтазарыч			-3		1,125
Суммы					6,750

Необходимо также всякий раз убеждаться в том, что сумма разностей между эмпирическими и теоретической частотами (сумма по третьему столбцу) равна 0. Если это равенство не соблюдается, это означает, что в подсчете частот или разностей допущена ошибка. Необходимо найти и устранить ее прежде, чем переходить к дальнейшим расчетам.

Алгоритм вычислений, таким образом, выражается формулой:

где f_iэ – эмпирическая частота по i-тому разряду признака;

f_т – теоретическая частота;

i – порядковый номер разряда;

k – количество разрядов признака.

В данном случае:

Для того, чтобы установить критические значения , нам нужно определить число степеней свободы по формуле , где k – количество разрядов.

В нашем случае .

По таблице приложения определяем:

Построим «ось значимости». Чем больше отклонения эмпирических частот от теоретической, тем больше будет величина . Поэтому зона значимости располагается справа, а зона незначимости – слева.

К сожалению, на основании этих данных тетушка не сможет дать Агафье Тихоновне обоснованного ответа:

Ответ: Н_о принимается. Распределение взгляда Агафьи Тихоновны между женихами не отличается от равномерного распределения.

Но, допустим, тетушка на этом не успокоилась. Она стала внимательно следить за тем, сколько раз племянница упомянет в разговоре каждого из женихов. Допустим, ею получено следующее распределение упоминаний Агафьей Тихоновной женихов и их достоинств:

Никанор Иванович Иван Кузьмич Иван Павлович Балтазар Балтазарыч

15 раз; 6 раз; 9 раз; 6 раз.

Тетушка уже видит, что похоже, Никанор Иванович пользуется большей благосклонностью Агафьи Тихоновны, чем все остальные женихи. У нее есть два пути, чтобы это доказать статистически:

1) Суммировать все проявления благосклонности со стороны невесты: взгляды + упоминания в разговоре, – и сопоставить полученное рас­пределение с равномерным. Поскольку количество наблюдений возросло, есть шанс, что различия окажутся достоверными.

2) Сопоставить два эмпирических распределения – взгляда и упоминаний в разговоре, – с тем, чтобы показать, что они совпадают между собой, то есть и во взглядах, и в словах Агафья Тихоновна придерживается одинаковой системы предпочтений.

Проанализируем оба варианта сопоставлений. В первом случае мы будем решать уже известную нам задачу сопоставления эмпирического распределения с теоретическим. Во втором случае мы будем сопоставлять два эмпирических распределения.

Первый вариант развития шутливого примера: увеличение количества наблюдений

Вначале создадим таблицу эмпирических частот, в которой будут суммированы все замеченные проявления благосклонности невесты.

Распределение проявлений благосклонности невесты между женихами

Женихи	Никанор Иванович	Иван Кузьмич	Иван Павлович	Балтазар Балтазарыч	Всего
Количество проявлений

Теперь сформулируем гипотезы.

Н₀: Распределение проявлений благосклонности невесты (взгляды и упоминания в разговоре) не отличается от равномерного распределения.

Н₁: Распределение проявлений благосклонности невесты отличается от равномерного распределения.

Все расчеты произведем в таблице по алгоритму.

Расчет критерия при сопоставлении проявлений благосклонности Агафьи Тихоновны с равномерным распределением

Разряды – женихи
	Никанор Иванович					8,471
	Иван Кузьмич			-6		2,118
	Иван Павлович					0,000
	Балтазар Балтазарыч			-6		2,118
Суммы					12,707

Ответ: Н₀ отклоняется, Н₁ принимается. Распределение проявлений благосклонности невесты между женихами отличается от равномерного распределения.

На этом примере мы убедились, что увеличение числа наблюдений повышает достоверность результата, если, конечно, в новых наблюдениях воспроизводится прежняя тенденция различий.

Второй вариант развития шутливого примера: сопоставление двух эмпирических распределений

Теперь мы должны ответить на вопрос, одинаковая ли система предпочтений проявляется во взгляде Агафьи Тихоновны и ее словах?

Сформулируем гипотезы.

Н₀: Распределения невербально и вербально выражаемых предпочтений не различаются между собой.

Н₁: Распределения невербально и вербально выражаемых предпочтений различаются между собой.

Для подсчета теоретических частот нам теперь придется составить специальную таблицу. Ячейки в двух столбцах слева обозначим буквами. Для каждой из них теперь будет подсчитана особая, только к данной ячейке относящаяся, теоретическая частота. Это обусловлено тем, что количества взглядов и словесных отзывов невесты о женихах неравны; взглядов 32, а словесных отзывов – 36. Мы должны всякий раз учитывать эту пропорцию.

Эмпирические и теоретические частоты взглядов и упоминаний о женихах

Разряды – женихи	Эмпирические частоты	Суммы	Теоретические частоты
Взгляды	Упоминания	Взгляды	Упоминания
	Никанор Иванович	14 А	15 Б		13,659	15,341
	Иван Кузьмич	5 В	6 Г		5,181	5,819
	Иван Павлович	8 Д	9 Е		8,007	8,993
	Балтазар Балтазарыч	5 Ж	6 З		5,181	5,819
Суммы

Рассчитаем эту пропорцию. Всего проявлений благосклонности отмечено 68, из них 32 – взгляды и 36 – словесные высказывания. Доля взглядов составит 32/68=0,471; доля упоминаний – 36/68=0,529.

Итак, во всех строках взгляды должны были бы составлять 0,471 всех проявлений по данной строке, а упоминания в разговоре – 0,529 всех проявлений. Теперь, зная суммы проявлений по каждой строке, мы можем рассчитать теоретические частоты для каждой ячейки таблицы:

, и так далее.

Ясно, что сумма теоретических частот по строкам будет равняться сумме всех проявлений по данной строке. Например,

и так далее.

При такого рода подсчетах лучше всякий раз себя проверить.

Теперь мы можем вывести общую формулу подсчета для сопоставления двух или более эмпирических распределений:

Соответствующей строкой и столбцом будут та строка и тот столбец, на пересечении которых находится данная ячейка таблицы.

Расчет критерия при сопоставлении проявлений распределений невербальных и вербальных признаков благосклонности невесты.

Ячейки таблицы частот
	А		13,659	0,341	0,116	0,009
	Б		15,341	-0,341	0,116	0,008
	В		5,181	-0,181	0,033	0,006
	Г		5,819	0,181	0,033	0,006
	Д		8,007	-0,007	0,000	0,000
	Е		8,993	0,007	0,000	0,000
	Ж		5,181	-0,181	0,033	0,006
	З		5,819	0,181	0,033	0,006
Суммы					0,041

Число степеней свободы при сопоставлении двух эмпирических распределений определяется по формуле:

где k – количество разрядов признака (строк в таблице эмпири­ческих частот);

с – количество сравниваемых распределений (столбцов в таб­лице эмпирических частот).

В данном случае таблицей эмпирических частот является левая, эмпирическая часть таблицы, а не на ее развертка.

Количество разрядов – это количество женихов, поэтому .

Количество сопоставляемых распределений .

Итак, для данного случая, .

Определяем по таблице приложения критические значения для :

Ответ: Н₀ принимается. Распределения невербально и вербально выражаемых невестой предпочтений не различаются между собой.

Итак, Агафья Тихоновна весьма последовательна в проявлении своих предпочтений, хотя, по-видимому, сама этого пока не замечает.

Приложение

Критические значения критерия для уровней статистической значимости и при разном числе степеней свободы

Различия между двумя распределениями можно считать достоверными, если достигает или превышает , и тем более достоверными, если достигает или превышает