Теоретична частина. Крутильний маятник (рис.13.2) – це тіло, яке може обертатись відносно довільної осі під дією пружної сили

Крутильний маятник (рис.13.2) – це тіло, яке може обертатись відносно довільної осі під дією пружної сили, що виникає при деформації кручення дроту, на якому закріплене тіло. Запишемо основне рівняння динаміки обертального руху , (13.1)

деI - момент інерції тіла, – кутове

прискорення. При деформації кручення дроту момент

сили пропорційний куту закручування, тобто

(13.2)

Знак мінус враховує, що момент сили зменшує кут повороту α. Одержуємо диференціальне рівняння коливань крутильного маятника

. (13.3)

Порівнюючи це рівняння із загальним рівнянням незатухаючих гармонічних коливань , (13.4)

одержуємо циклічну частоту та період коливань крутильного маятника

. (13.5)

Для виконання першого пункту завдання необхідно змінювати момент інерції маятника. Це здійснюється заміною тіл, які закріплюються в рамці 9. Для цього використовується комплект вантажів з різними геометричними розмірами, але з однаковою масою.

Момент інерції циліндра відносно його осі

. (13.7)

Момент інерції стержня відносно осі, яка перпендикулярна до нього і проходить через його середину

. (13.8)

Момент інерції кулі відносно діаметра

. (13.9)

Підстановка цих виразів у формулу (13.5), з урахуванням моменту інерції рамки I_p та адитивності моменту інерції, дає можливість обчислити періоди коливань:

циліндра , (13.10)

стержня , (13.11)

кулі . (13.12)

Піднісши вирази (13.10), (13.11) і (13.12) до квадрату, одержуємо:

~ R ², (13.13)

~ L ², (13.14)

~ R ², (13.15)

Із формул (13.13) ÷ (13.15) видно, що квадрати періодів коливань пропорційні квадратам відповідних характерних геометричних розмірів тіл (радіусу, довжини).

Для періоду коливань рамки без вантажів маємо

. (13.16)

Замінюючи у виразах (13.13) - (13.15) перші доданки виразом (13.16), одержуємо

, (13.17)

~ L ², (13.18)

~ R ². (13.19)

Таким чином, залежності квадратів періодів від квадратів відповідних характерних розмірів за теорією повинні бути лінійними. Причому відрізок, який відсікає графік на осі ординат (квадратів періодів) дорівнює квадрату періоду коливань вільної рамки, а тангенс кута нахилу графіків залежить від коефіцієнта пропорційності k між обертаючим моментом та кутом α (див. формулу (13.2)). Експериментально досліджується залежність між періодом коливань Т крутильного маятника та радіусом циліндрів (довжиною стержнів). Будується графік в координатах Т² = f(R²) для циліндрів, чи Т² = f(L²) для стержнів. Якщо графік буде прямолінійний, то це якісно підтверджує справедливість теоретичних формул (13.17) і (13.18), а співпадання значень, які відсікають ці графіки на осі ординат, з квадратом періоду рамки кількісно підтверджують справедливість цих формул. Крім цього, по тангенсу кута нахилу вказаних графіків можна знайти коефіцієнт k, а точніше відношення m/k², і за формулою (13.19) розрахувати період коливань Т_к. Якщо це розрахункове значення буде близьким до безпосередньо виміряного, це підтвердить справедливість теоретичних формул, і зокрема, формули (13.9).