Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Очень часто % начисляются не 1 раз в году, а по истечении меньших промежутков времени: по полугодиям, кварталам, месяцам и т.д.
При этом в соответствии с финансовым документом (контрактом, договором) указывается, что используется такая то годовая % ставка с такой то периодичностью начисления и капитализацией %.
Для этой ситуации годовую % ставку обозначим «j» - ставка при которой % начисляются чаще 1 раза в год, а «m» - количество раз в году, когда начисляется и капитализируется ставка.
Ставка j – называется номинальной ставкой (годовая)
m – количество периодов
В соответствии с формулой сложных %:
S=P(1+j/m)^m - ∑ наращения за 1 год
m=2 - полугодие
m=4 - квартал
m=12 – месяцы
Если нас интересует больше года, то: S=P(1+j/m)^m*n – за n лет
Интуитивно понтяно6 что при увеличении m, при одной и той же номинальной ставке, наращенная ∑ - возрастает.
Для вычисления наращенной ∑, можно воспользоваться таблицами множителей наращения для схемы сложных %, кот упоминали при рассмотрении формулы S=P(1+i)^n
Пример:
Номинальная ставка = 20%(j)
n=10 лет
1)Ежегодные начисления (m=1)
тогда: j/m=20%, тогда
(1+0,2)^10=6,1917 (можно найти по таблице)
2)полугодовые начисления (m=2)
Тогда j/m=10%
(1+0,1)^20=6,7275
Если мы фиксируем ставку, то ∑ наращения растет (т.к. увеличивается множитель наращения)
3)поквартальное начисление (m=4)
j/m=5%
(1+0,05)^40=7,04
Можно убедится в математически и числено, что имеется сходимость к определеному пределу, кот мы рассмотрим позже непрерывное начисление %.
Имеется рост, множитель наращения увеличивается (1)6,19;2)6,73;3)7,04)
m→∞ (непрерывное начисление %)
4)m=365
множитель наращения = 7,39
1,2,3 – практические схемы (квартал, месяц)
4,… - анализ деятельности (день, час)
Рассмотрим новые понятия, кот являются важными, для описания операций с номинальной ставкой.
Эффективная ставка.(i)(действительная)
По определению эффективная ставка называется – годовая ставка сложных %, кот дает тот же самый финансовый результат (ту же самую наращенную ∑), что и номинальная ставка при заданном количестве начислений за год.
Таким образом нужно, найти: сравнить множители наращения
Ставка i
(1+i)^n = (1+j/m)m*n
S=P(1+i)^n
Множители наращения должны быть равны
Следовательно: можно найти i(j)
Нужно извлечь корень «n-ой» степени
: 1+i=(1+j/m)^m
−(1+j/m)^n – выражение связывающее эффективную и номинальную ставки
:
I=(1+0^25/12)^12-1=((1,021)^2)-1=1,281-1=0,281=28%
Мы видим, что размер эффективной ставки превышает размер номинальной ставки (i>j) в данном случае. 28%>25%
Мы получили в примере, что эффективная ставка привышает номинальную ставку, в рассмотренном примере номинальная ставка предполагает ежегодное начисление %, а эффективная ставка ежемесячное начисление.
Общая закономерность соотношения эффективной и номинальной ставки.
(1+j/m)^m=1+j+A
Где А>0 (ряд тейлора) (+)
Разложение ряда тейлора.
I=1+j+A-1=j+A
i>j –важный математический факт
эффективная ставка в схеме наращения сложных % превосходит номинальную ставку при многократном наращении сложных % (m≥2).
Данное соотношения важно правильно учитывать и интерпретировать, при составлении финансовой документации, четко понимая о какой ставке идет речь.
Применительно к примеру, эквивалентным были бы следующие 2 формулировки:
1)номинальная ставка 25% по помесячному начислению % и капитализации
2)эффективная (годовая) ставка 28,1%
Указать в тексте номинальной ставки = 25%, является некорректной (без указания периодичности)
Вренемся к соотношению:
(1+i)^n=(1+j/m)^m*n (i(j))
Найдем как выражается номинальная ставка через эффективную ставку.
: =1+j/m
j=(
При рассмотрении схемы простых %, мы рассматривали прямые и обратные задачи, при чем для ставки наращения и для учетной ставки, давайте придерживаться методики (методологии) рассмотренной позднее.
Ставка наращения (простые %)
1)S=P(1+ni) ➘
прямая задача
2)S=P(1+i)^n ➚
Обратная задача (задача дисконтирования)
1)P=S/1+ni
2)P=S/(1+i)^n
Дисконтирование по схеме сложных %.
Введем обозначения =(1+i)^-n – дисконтирующий множитель, при использовании ставки i сложных %.
P=S , S-P – называется дисконт (Д)
Д=S(1- ) – выражение дисконта при проведении дисконтирования по схеме сложных % с дисконтирующим множителем ,обратим внимание, что выражение имеет сходство с выражением, кот мы получили при дисконтировании по сложной учетной ставке.
Полученные формулы предпологают использвоание при вычислениях эффективной ставки «i», если мы будем использовать номинальную ставку «j», то выражение для ν изменится следующим образом:
ν=1/(1+j/m)^m=(1+j/m)^-m
ν=(1+j/m)^-m*n
Пример:
Σ S=5 млн выплачивается через 5 лет (n=5 ktn)
Р-?, определить и современную стоимость, имея эффективную ставку сложных %=10%.
P=S =5 млн
=
Лекция 17.11.11
Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные %.
Непрерывное начисление % в практике финансовых расчетов используется прежде всего в целях анализа финансовых операций, а не как практическая финансовая операция.
Например в рамках такого рассмотрения можно проанализировать эффект от использования изменяющейся по определенному закону во времени % ставки.
При непрерывном начислении % рассматривается особый вид % ставки, кот называется – сила роста.
Сила роста характеризует относительный прирост наращения Σ за бесконечно малый интервал времени (аналог понятия производной)
Сила роста:
-постоянная
-переменная
Постоянная сила роста.
Началом анализа будет формула для номинальной ставки.
S= (получение наращенной ΣS из начальной ΣР при начислении %, m раз в году по номинальной ставке j в течение n лет)
Рассмотрим формулу при непрерывном начислении %.
m→∞
S= =P = =
δ – дельта, через нее принято обозначать коммерческую ставку при бесконечном количестве начисления % в году, т.е. так называемую - силу роста, последняя фраза является определением понятия сила роста.
Давайте вспомним, мы рассматривали соотношение между номинально и эффективной ставкой.
Найдем обычную годовую ставку сложных %, кот дает равный результат, что и сила роста.
S= -обычная
S= – сила роста
Приравняем множитель наращения
nln(1+i)= δn
δ=ln(1+i)
=1+i
Пример:
Σ=2 млн, начисление непрерывных %, при силе роста=10%, n=5 лет
Найдем наращенную Σ.
S=2 млн =3.298.000
= = =1,649
Найдем по силе роста годовую ставку.
i= =0,1051
С помощью таблицы натуральных логарифмов легко находится значение
= 0,1051
i=10,52%
Чем чаще начисляем %, при малой % ставке можно получить больший результат.
Годовая ставка получилась больше чем сила роста, что естественно, т.к. при меньшей ставке за счет более частого начисления сложных % (капитализация) можно получить тот же результат, что и при большей ставке, но меньшей капитализации %.
Рассмотрим при использовании ставки = 10,52%.
S=
2млн =3.298.000
Таким образом мы убедились что:
=
S= – формула наращения
Р= – формула дисконтирования
- множитель наращения
– множитель дисконтирования
Переменная сила роста.
δt=f(t) – синонимы
Функция времени рассматривается как линейная функция (δ+at) изменение силы роста, а – прирост силы роста в единицу времени
Он рассматривается при линейной функции а=const
Рассмотрим прирост силы роста.
На основании понятий определенного интеграла, наращение по сложным %, предела для случая переменной силы роста можно записать соотношение:
В анализе возникло понятие определенного интеграла за счет предельного перехода к интегральной Σ, где № капитализируются в конце каждого отрезка, кот в совокупности составляет интервал интегрирования.
Найдем интервал:
Запишем в явном виде множитель наращения при начислении непрерывных % с с линейной силой роста.
- множитель наращения при начислении непрерывных % с линейной по времени силой роста
Пример:
Сила роста (δ) = 8%, ставка непрерывных % и множитель изменяется, при чем прирост за год = 2%, срок наращения(n)=5 лет
Найдем множитель наращения:
Рассмотрим другую временную зависимость, когда прирост силы роста не постоянен.
Пример:
δt=δ* - c течением времени прирост силы роста в единицу времени увеличивается
Данная закономерность соответствует понятию ускорения в физике.
а – темп прироста силы роста
В предыдущем случае темп прироста силы роста был=0.
Используем поученную формулу для определения срока ссуды n(δ) в зависимости от силы роста
S=
Длительность ссуды определяется из квадратного уравнения, параметры кот определяют силу роста(δ), прирост силы роста(а), начальную Σ(Р) и конечную Σ(S).
Финансовые потоки (потоки платежей)
До сих пор, при начислении % мы рассматривали взаимосвязь начальной Σ и конечной Σ.
Р⇆S
Количество платежей было=1, однако при рассмотрении учета неопределенности, с помощью анализа чувствительности, в рамках, кот в теч. 5 лет, поступали платежи (1 платеж в год).
Определение:
Периодическое поступление доходов от инвестиций, периодическая выплата пенсий, погашение задолжности, другие виды последовательных во времени платежей – называется потоками платежей, при этом отдельные платежи образующие поток – называются членами потока.
Потоки платежей:
-регулярные
-нерегулярные
Под регулярными - понимаются потоки в кот размеры членов потока и интервалы времени между ними подчиняются определенным законам, а если они не подчиняются этим законам – нерегулярные.
Члены потока могут быть положительными – поступления или же отрицательными – выплаты.
Поток в кот все члены положительны, интервал между членами одинаковый – финансовая рента.
Лекция 24.11.11.
Прямой (посредственный) метод расчета наращенной ∑ и современной стоимости потока платежей.
Поток платежей – это последовательность платежей во времени.
Rt – член ренты
Nt – момент совершения платежей
Запишем исходя из соотношений, как выглядит наращенная ∑такого потоа, если наращение производится по схеме сложных %, % начисляются 1 раз в году, годовая ставка (i).
Найдем соотношение между наращенной ∑и начальной стоимостью.
Обратим внимание на то, что начальная стоимость и наращенная ∑ при годовой % ставке (i) при начислении сложных % 1 раз в году при процентной теории:
S=
Такая же формула справедлива для потока платежей.
Использование формулы для определения текущей стоимости потока платежей = 30.120.000.
Если проверить правильность результатов по формуле в рамке или по формуле S= = ,то получим правильные ответы.
Наращенная ∑постоянной ренты постнумерандо.
Постоянная – это рента в которой все члены одинаковы.
Постнумерандо – платеж происходит в конце периода.
Рассмотрим поток платежей в конце каждого года в банк вносится одна и таже ∑, по схеме сложных %, при ежегодном начислении %, при годовой ставке i, и продолжительностью n лет.
Лекция 01.12.11.
Постоянная р-срочная рента постнумерандо с однократным начислением сложных % 1 раз в году.
Выпишем члены возникновения здесь в геометрической прогрессии с учетом начисления %. (с конца срока ренты).
R/P – начисления % нет (последний платеж)
R/P(1+i)^1/p – предпоследний платеж
R/P(1+i)^2 - предпредпоследний платеж
…
Первый платеж в течение последнего года срока ренты:
…
К концу срока ренты первый платеж первого года:
np – членов в этой прогрессии
(1+i)^1/p – знаменатель этой прогрессии
Формула для ∑ членов такой прогрессии:
Если бы количество платежей в течение года совпадало с количеством раз начисления % (сложных) в течение года и совпадали бы их моменты времени, то тогда для коэффициента наращения мы могли бы воспользоваться стандартной таблицей(7 в книге Четыркина).
Пример:
В предыдущем примере рассмотрим ежеквартальное поступление платежей, каждый из которых = 1 млн, остальные параметры –//–7
Р=4 млн
R/P=1 млн
np=5*4 = 20
Результат получается чуть больше.
В случае р-срочной ренты6 когда количество начисляемых % совпадает с количеством платежей в течение года и моменты времени их совпадают.
Для соотношений, вспомним:
Формула для 1 случая – S=R*(((1+i)^n)-1)/i), количество периодов = количеству лет.
Заменим годы
n: =np – количество периодов
Параметру n присвоим значение количество периодов.
i=j/m
R=R/P
P=m
Перепишем формулу с новыми обозначениями:
S=
Лекция 08.12.11.
46) Зависимость между наращенной и приведенной стоимостью ренты.
А – приведенная или современная стоимость
S - ∑ наращения или ∑ наращения
i - % ставка
n – количство лет
– наращение
= - дисконт
ν=1/(1+i)
Обратим внимание на соответствующее положение коэффициента приведения и наращения.
Коэффициент наращения – это наращенная ∑ ренты6 каждый член кот = 1.
Коэффициент приведения – это современная стоимость ренты, каждый слен кот = 1.
Соотношение между коэффициентами должны быть:
Совр ст-ть (an;i )
наращ. ∑ (&n;i)
an;i =&n;i
an;i=&n;i
Для ренты каждый член кот = 1, это наращенная Σ и приведенная стоимость.
47) Определение члена ренты.
S=R&n;i
A=Ran;i
R=S/&n;i (1)
R=A/an;i (2)
(1) – определяет размер годового платежа, если нужно за n лет накопить ΣS, при годовой ставке i.
(2) – определяется размер годового платежа если нужно за n лет при годовой ставке i, погасить долг А (t=0).
48) Определение срока ренты.
S=R&n;i
A=Ran;i
&n;i= S=R
an;i= (S/R)*i+1
n= =nln(1+i)
n=
A=
Комментарий:
1)Использование формул удобно, если нам заданы коэффициенты:
S/R=&n;i
A/R=an;i
2)Если во 2ой ситуации имеет место Аi=R, то в формуле возникает неопределенность (n→∞) размер годового платежа = ∑ годовых %, то ⇒ долг погасить невозможно за отведенное время, должно быть Ai<R.
49) Определение размера % ставки.
&n;i=
an;i=
Из формулы коэффициента наращения и приведения, видно7 что зависимость их от % ставки не меняется и довольно сложная. (то есть соотношение нельзя разрешить аналитически, относительно i), поэтому используем линейное приближение, исходя из следующего:
Коэффициент наращения увеличивается при увеличении % ставки (при постоянном n)
Рис1.
Полученная формула используется:
Предположим нам задано значение коэффициента &, тогда по таблице коэффициент наращения, мы находим значение коэффициента &(1), кот чуть меньше чем значение &, и значение &(2), кот чуть больше значения & и соответствующие этим значениям % ставки i1,i2.
Пример:
Предположим мы хотим сформирвоать в теч 7 лет, путем ежегодных взносов постнумерандо по 100 млн, в размере 1 млнд.
Какой должна быть % ставка?
Весьма высока (стоимость).
50)Другие виды % ставок.
Рента пренумерандо.
Вспоминая определение ренты пренумерандо (платеж в начале периода) становится ясно, что каждый платеж приносит % на 1 период больше, чем в ренте постнумерандо
Ŝ=S(1+i)
~
&n;i=&n;i(1+i)
Т.к. каждый платеж ренты пренумерандо нужно дисконтировать меньше на 1 раз; Если имеется рента в кот платежи поступают в середине периода, то приведенная стоимость
А1/2=
a∞;i=1/i=ln an;i
А∞=R* a∞;i=R/i
Может возникнуть вопрос о современной цене, выкупа вечной ренты.
R=1;i=0,2; цена ее выкупа: A∞=1/0,2=5
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 508 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!