Введение. Коэффициент Шези занимает центральное место в динамике русловых потоков, являясь ключевым параметром в установленной связи между морфометрическими и

Коэффициент Шези занимает центральное место в динамике русловых потоков, являясь ключевым параметром в установленной связи между морфометрическими и динамическими характеристиками руслового потока. По оценке К.В. Гришанина[ 1 ], уже к 30-м годам 20 века, было предложено более 200 различных зависимостей для оценки этого коэффициента, этот процесс достаточно интенсивно продолжается и в настоящее время [2,3,4,5] и др. Для того чтобы достаточно аргументировано ответить на вопрос, чем определяется такое многообразие предлагаемых зависимостей для оценки рассматриваемого коэффициента, необходимо, в первую очередь, рассмотреть основные факторы, определяющие гидравлическое сопротивление русловых потоков.

Антуан Шези[6], занимаясь расчетами параметров канала для обеспечения водоснабжения г. Парижа в 1775г., принимая, что гидравлическое сопротивление потока пропорционально квадрату скорости, установил, что частное скоростей течения двух водотоков должно относится как

где - соответственно, средняя скорость течения по сечению потока, площадь поперечного сечения, смоченный периметр и гидравлический уклон первого и - второго водотока, откуда следует, что , где - гидравлический радиус. Параметр пропорциональности С получил название коэффициента Шези.

Дю Бюа[7] в 1779г., рассматривая общие принципы гидравлики русловых потоков, принимая, что основной силой определяющей движение жидкости в водотоках является сила тяжести, а гидравлическое сопротивление пропорционально квадрату скорости, совершенно независимо от А. Шези получил аналогичное соотношение

. (1)

При этом нетрудно видеть, что .

Запись данного уравнения в форме дю Бюа значительно более корректна, однако, в большинстве учебников и справочников по речной гидравлике пропагандируется, в силу традиций, запись в форме Шези.

Как А. Шези, так и дю Бюа понимали, что коэффициент не может быть постоянной величиной и зависит от морфометрических характеристик водотока.

На протяжении более чем 200 лет очень большое количество исследователей активно занимались установлением этих весьма актуальных для речной гидравлики зависимостей.

Еще в XIX веке в результате проведенных весьма тщательных экспериментов[6] в трубах и каналах, было зафиксировано, что зависимость силы гидравлического сопротивления F_сопр от скорости течения как в каналах, так и в трубах описывается полиномом второй степени

(2)

При этом, при , а при , где ( - кинематическая вязкость, Re – число Рейнольдса, характеризующее характер течения в водотоке, при - ламинарный, а если - турбулентный).

Проблема осложняется тем, что русловые потоки характеризуются не только очень широким диапазоном изменения как морфометрических, так и динамических параметров потока, но и тем, что в отличие от задачи «трубной» гидравлики, частицы, слагающие донные отложения, способны активно перемещаться и образовывать грядовые структуры, существенно влияющие на формирование гидравлического сопротивления водотоков.

В общем случае, с учетом подвижности частиц донных отложений и способности их формирования в грядовые структуры, обобщим соотношение для условий равномерного установившегося потока (2), рассмотрев полином третьей степени по V

или .

Нетрудно видеть, что коэффициенты А₁, А₂, А₃ должны описываться параметрами, определяющими динамику руслового потока. В качестве таких параметров можно принимать - кинематическую вязкость воды, R – гидравлический радиус, g – ускорение свободного падения, d – характерный размер донных отложений, i- гидравлический уклон. При этом необходимо учитывать, что при - русло является гидравлически гладким. В случае, когда находящиеся на дне частицы, слагающие донные отложения: при - неподвижны, а при - гидравлически активны.

Исходя из анализа размерности, можно принять:

, , , при этом С₁, С₂, С₃ - безразмерные константы. Примем, что коэффициенты С₁, С₂, С₃ - полностью автомодельны относительно определяющих их параметров.

В этом случае:

, , .

Записывая уравнение (1) относительно V имеем

.

В общем случае решение уравнения имеет весьма громоздкий вид.

Однако для ряда частных случаев нетрудно получить простые соотношения:

1. При , а также (3)

получаем известное соотношение Стокса для вязкого сопротивления

(4).

Так как требование (3) весьма экзотично для русловых потоков, то данное соотношение может использоваться для гипотетической оценки скорости течения в водотоках при отсутствии турбулентного сопротивления. При использовании стандартной формы записи в виде уравнения ШезиV~C (H*i)^1/2, в этом случае С~ 0,577 Re^1/2по [8];

2. При и , т.е. дно гидравлически неподвижно,

имеем: (5)

при ,где С - коэффициент Шези. Данное соотношение представляет собой уравнение Шези-дю Бюа.

При , т.е. при гидравлической подвижности дна, имеем

(6).

Данное соотношение, хорошо согласуется с моделями Lacey [9], А.М. Волынова [5], Д.А. Альтшуля [31] полученными на основе анализа натурных и экспериментальных данных, а так же с результатами работ [10, 11] при .

При наличии в водотоке грядовых структур необходимо учитывать суммарное эффективное сопротивление, при этом, как правило, используется принцип простой суммации коэффициентов гидравлического сопротивления обусловленных зернистым и грядовым сопротивлением [1,12,13]

, (7)

где - соответственно коэффициент гидравлического сопротивления, обусловленный зернистым и грядовым сопротивлением. Так как , то нетрудно видеть, что

(8)

где , - коэффициенты Шези, обусловленные, соответственно, зернистым и грядовым сопротивлением.

Как следует из (4), включение кинематической вязкости ν может быть эффективно только для ламинарных потоков или для переходной зоны при .

При турбулентном режиме, для гидравлически гладкого русла, единственным определяющим параметром, характеризующим коэффициент гидравлического сопротивления и, соответственно, коэффициент Шези, является число Рейнольдса, . Наиболее известным соотношением, полученным для такого типа русел, является формула Блазиуса, согласно которой: . Таким образом имеем С=28.6 Re^1/8 при Re>10⁵. В тоже время при Re<10⁵ соотношение для С становится неявным[12]:

(9)

Если частицы, определяющие характер смоченного периметра руслового потока неподвижны и их размеры больше толщины вязкого подслоя: , то параметром, определяющим характер коэффициента гидравлического сопротивления, в соответствии с гипотезой, высказанной еще в 1914г. Р. Мизесом, является отношение , получившее название относительной шероховатости: .

Для достаточно строгой оценки коэффициента Шези можно воспользоваться соотношением (2) , где V_ср – среднее по глубине значение скорости: .

Замена гидравлического радиуса R на глубину среднюю по сечению потока для русловых потоков при не вносит существенной погрешности в гидравлические расчеты.

Таким образом, задачи оценки коэффициента Шези сводится к оценке отношения средней скорости потока к динамической скорости.

Согласно классической логарифмической схеме расчета распределения скорости в в русловом потоке [14]:

, где χ- постоянная Кармана (10)

т.е. принимается, что вертикальный градиент скорости потока полностью автомоделен относительно локального числа РейнольдсаRe_*.

Учитывая (10) для гидравлической шероховатости русла имеем

. (11)

Как показал Г.И.Баренблатт [15], если гипотеза по полной автомодельности распределения скорости относительно локального числа Рейнольдса не может быть принята, то в условиях неполной автомодельности имеем

. (12)

Для гидравлически негладкого русла, соответственно, имеем

, , (13)

где -динамическая скорость потока; - придонная скорость потока.

К.В. Гришанин [1], используя результаты классических экспериментов И.И. Никурадзе, определил Р_*=7,5. Согласно оценкам В.И. Ефремова Р_*=7,4, в то же время, по экспериментальным данным Ванони Р_*=6,6. Как показано в [15] коэффициент изменяется в зависимости от Re в интервале . При , а при .

Используя соотношение (11) для оценки коэффициент Шези С, имеем

, (14)

а при использовании соотношения (10) имеем

. (15)

Среднее течение равнинных рек характеризуются величиной параметре .

Для удобства дальнейшего анализа введем . Большинство предлагаемых и используемых соотношений для оценки коэффициента С_зерн имеют структуру близкую к соотношениям (14, 15).

Необходимо отметить особенности логарифмической функции:

- в диапазоне значений она очень близка к степенной функции с показателем степени ;

- в диапазоне - к степенной функции с показателем степени .Таким образом, в рассматриваемом диапазоне и при данных значениях коэффициента α, логарифмические и степенные функции практически тождественны, и, соответственно, зависимости, используемые для оценки коэффициента С, построенные с их использованием так же тождественны.

Достаточно часто для оценки величины донных отложений наряду с характерными размерами донных отложений используется коэффициент «гидравлической шероховатости» - n, имеющий весьма «странную» размерность [сек/м^1/3].

Согласно классической формуле Штриклера

или

или в более общем виде

. (16)

Соответственно, используя соотношение (11), имеем

, (17)

используя соотношение (17) и учитывая, что

(18)

получаем зависимость вида:

(19)

Соотношение (19) аналогично известной формуле Бахметьева –Агроскина.

При , имеем наиболее популярное соотношение для оценки коэффициента Шези, рекомендованное Р. Маннингом и получившее название формула Маннинга. Попытка достаточно строгого обоснования данного соотношения, на основе схемы А.Н. Колмогорова диссипации турбулентной энергии потока, была предпринята в [16]. Н.Н. Павловским рассмотрено и предложено соотношение с переменными значениями коэффициента .

Сопоставительное представление наиболее распространенных по терминологии [6] ранних формул для оценки коэффициента Шези, дается в таб. 1 и на рис.1.

Таблица 1

Зависимости различных авторов

наименование	формула	год
формулаГангилье-Куттера
формула Базена
формула Маннинга
формула Маннинга (поздний)
формула Бахметьева-Агроскина
формула Альтшуля-Лудова
формулаПавловского	,
формула Железнякова	, к – параметр профиля скорости,
формула Маннинга-Штриклера
формула Зегжда-Гришанина
формула Толмаза	,
формула Лимериноса		1970

Рис. 1. Зависимости коэффициентов Шези от величин гидравлических радиусов

(С7 – ф-ла Железнякова, С1(R) – ф-ла Маннинга, U13(R)–Гангилье-Куттера, С4(R)–Бахметьева-Агроскина, С5(R)–Альтшуля-Лудова, С6(R) – ф-ла Базена, CM(R) – ф-ла Маннинга (поздний), C2(R)–ф-ла Павловского)

Рис. 2. Зависимости коэффициентов Шези от величинотносительной шероховатости (Z= H/Δ)

( С7(Z) – формула Зегжда-Гришанина; С8(Z) – формула Маннинг-Штриклер; С9(Z) – формула Толмаза; С12(Z) – формула Лимериноса; C14(Z) –формула С. Альбертсона; С11(Z) -для степенное распределение скорости потока )

Как видно из рис. 1, при характерных значениях коэффициента гидравлической шероховатости n=0,025, все рассматриваемые соотношения пересекаются в одной точке H~1м и С=40 м^1/2/сек. Данная особенность многих расчётных соотношений, когда С~1/n при R~1м, отмечалась в работе Л.Тепакс [17].

Все ранние формулы, построенные по рассмотренной выше схеме, являются явными относительно рассчитываемого параметра коэффициента сопротивления или коэффициента Шези.

Так как характер распределения скорости по глубине потока зависит от коэффициента сопротивления, то соотношения для оценки коэффициента сопротивления, в общем случае, должны быть неявные. На данные обстоятельства впервые обратил внимание Л. Прандтль[14].

Поэтому с середины прошлого века стали появляться соотношения, учитывающие изменение влияния гидравлического сопротивления на вертикальные профили скорости.

Наиболее известное соотношение данного типа - формула Железнякова [18]:

, (20)

к – параметр профиля скорости:

Как нетрудно видеть, данное соотношение по своей структуре близко к известной формуле Бехметьева-Агроскина, но с переменной, зависящей от коэффициента С, при логарифме глубины потока. Как видно из рис. 1, при n=0.025, данное соотношение достаточно близкое к рассмотренным выше соотношениям.

Как следует из рис.1, при характерной гидравлической шероховатости (n=0.025) наиболее существенно отклонение между крайними значениями оценок коэффициента Шези

(21)

в диапазоне глубин 0.1≤H≤ 10м. В то же время в диапазоне характерных глубин 0,5 – 3м (так формулу Н.Н. Павловского рекомендовано использовать при глубине H<3м) расхождение между рассматриваемыми расчетами соотношения составляет ~ 5%, что сопоставимо с погрешностью инструментальных измерений гидрологических параметров.

Подобные различия наблюдаются между отдельными расчетными методами оценки коэффициента С, построенные в координатах С~f(Z) в диапазоне значений 100≤Z≤1000 (рис 2). Для представленных на рис. 2 наиболее распространенных методов в рассматриваемом диапазоне глубин: .

Так как русло реки, как правило, весьма неоднородно, даже на относительно не больших расчетных участках, то возникает обратная задача интегральной оценки коэффициента шероховатости в целом для всего расчетного участка на основе материалов натурных наблюдений.

В строгой постановке оцениваемые таким образом значения параметра «n» относятся только к тем расходам и к тому гидравлическому режиму, для которого они получены.

Поэтому возникает задача экстраполяции и интерполяции полученных значений на неохваченные материалами наблюдений области.

При доминирующей роли зернистого сопротивления, когда в первом приближении коэффициент «n» определяется только характером размера частиц донных отложений, такой подход вполне корректен и решение задачи экстраполяции не представляет труда. Однако данный подход становится совершенно некорректным при доминирующей роли грядового сопротивления, характер которого определяется гидродинамикой потока.

В нашей стране А.М. Великанов [19 ] и Г.Н.Петров [20] одни из первых обратили внимание на существенные, принципиальные особенности грядового сопротивления на реках и каналах. Как показано было выше, в число определяющих параметров при оценке грядового сопротивления необходимо, наряду с гидравлическим радиусом и характерным размером донных отложений, включать и учитывать гидравлический уклон i. Из наиболее ранних количественных для оценок С_гр, следует отметить соотношение Lacey [9], Simons Albertson [10,11], полученное для гидравлически подвижных частиц донных отложений.

Как отмечалось, оно очень хорошо согласуется с оценкой

,

В то же время P. Jensen, J.C.,Lebreton [21] на основе анализа экспериментальных и натурных данных предложили следующую оценку коэффициента Шези для аллювиальных русел

,

учитывая, что коэффициент устойчивости

(22)

Серьезное исследование грядового сопротивления было выполнено в 1958г. C.H. Li-H.K. Liu, [11],а также S.J. Hwang[22], предложившими для оценки средних скоростей течения в водотоке с подвижным дном следующее соотношение

,

или, используя стандартную форму записи

,

имеем

.

При этом значения коэффициентов определяют размер донных отложений

Если при характерном размере донных отложений , а , то при , т.е. совпадает со стандартной схемой Шези-Маннинга.

Крупное исследования коэффициента Шези С было выполнено F. Karim[23]. Им был проведен детальный анализ формирования гидравлической шероховатости в аллювиальных руслах. В качестве определяющего параметра рассматривалось отношение динамической скорости потока к гидравлической крупности частиц донных отложений, представляющееся собой, коэффициент подвижности частиц по [1] , и непосредственно связанным с коэффициентом устойчивости ,как .

При этом эффективная гидравлическая шероховатость определяется как

, (23)

. (24)

В общем случае для оценки гидравлической крупности частиц рекомендуется использовать модель Cheng [24] .

Однако, при , она практически совпадает с простейшей оценкой гидравлической крупности частиц:

.

Соответственно, определяющий параметр будет иметь следующий вид при характерной плотности частиц донных отложений

, а воды~1*10³ кг/м³ . (25).

Как нетрудно видеть из (25) при гидравлически не подвижных частицах, слагающих донные отложения, т.е если η~0,то данное соотношение становится весьма близким к стандартным оценкам, предлагаемым для оценки С при зернистой шероховатости.

При η≥1, используя данную аппроксимацию, нетрудно построить зависимость (рис. 3).

Рис. 3. Зависимость коэффициента гидравлической шероховатости n(η) от определяющего параметра

Используя соотношения (23-25) нетрудно оценить роль грядового сопротивления в формировании средней скорости потока по отношению к зернистому сопротивлению в зависимости от определяющего параметра η. Зависимость К(η) = V гряд(η)/Vзер представлена на рис. 4.

Рис. 4. Зависимость отношения средней скорости при грядовом сопротивлении к эквивалентной скорости при зернистой шероховатости в зависимости от определяющего параметра

На основе анализа грядового сопротивления Li и Liu [25] при оценки коэффициента С было предложено следующее соотношение для оценки гидравлической шероховатости:

,

- при 1<V/Vc<2.3;

- приV/Vc>2.3, где Vc – неразмывающая скорость.

Так как гидравлическая шероховатость используемая для оценки коэффициента Шези и, соответственно, средней скорости потока сама определяется скоростью потока, то получаем неявную модель для оценке скорости потока. Для ее численной реализации необходимо использовать дополнительный вычислительный модуль. Wu и Wang в относительно недавно выполненной работе [26] сделали попытку построения в явном виде зависимости для оценке Аn, используя в качестве определяющих параметров число Фруда – и отношение фактического касательного напряжения к критическому τ_c: . (26)

Рис.5.Зависимость от параметра, ζ= по Wu, Wang [26]

Критическое касательное напряжение где - динамическая скорость потока - критическая динамическая скорость, соответственно, =ω₀/fc(Re), где ω₀-гидравлическая крупность частиц, -динамическая скорость потока Детальное изучение характера функции fc(Re) выполнено В.С. Кнороз[27], А. Шильдсом [28]. Согласно [27] Re> 10 функция fc(Re) становится полностью автомодельна относительно Re и fc(Re)~0.16.

При этом необходимо учитывать, что в первом приближении

()²~ (H*i)/d.

Зависимость гидравлической шероховатости n от скорости потока при грядовом сопротивлении объясняет возможность существования каналов в «режиме», когда в определенном диапазоне расходов воды может наблюдаться постоянный уровень воды при изменении расхода. Данное явление описывалось специалистами еще в начале ХХ – века, вызывало недоумение с позиции традиционного представления о доминирующей роли зернистого сопротивления в формировании гидравлического сопротивления в русловых потоках.

Как следует из (23) и (24), при фиксированных постоянных значениях отношения H/d~const, единственным определяющим параметром для оценки коэффициента Шези становится гидравлический уклон. На данное обстоятельство обращали внимание многие исследователи гидравлического сопротивления в русловых потоках [5, 19, 20 и др.]. В тоже время при d~ const и i ~ const единственным определяющим параметров становится глубина потока h. При этом, как следует из (25), а также представленных на рис. 5 зависимостей для условий грядового сопротивления, должна существовать значительно более гибкая система зависимостей n(h), , а соответственно и V(h), чем это может быть при зернистой шероховатости. На данные особенности грядового сопротивления обращалось внимание в [ 3,4,8,19, 30,33 ]и др. Структура функций n(h), , неизбежно должна отражаться на особенности динамике русловых потоков,.структуре связи динамических и морфометрических параметров. Для анализа характера этих связей весьма удобно использовать гидроморфометрические зависимости, построенные исходя из условий неполной автомодельности рассматриваемых параметров [8,29].. При этом строятся и анализируются зависимости степенного типа , где .

Для решения рассматриваемой задачи существенное значение имеют анализ данных зависимостей построенных исходя из выполнения условий неразрывности и квадратичности гидравлического сопротивления [29]

.

(27)

Как показано выше, для зернистого сопротивления как правило . Соответственно в этом случаи должна быть . Однако в естественных водотоках параметр варьирует как правило в значительно больших интервалах. Оценим значения параметров , для условий зернистого сопротивления. В простейшем случае, для прямоугольного русла , в то же время, при циркулярной форме русла при B>>h и если , при треугольной форме русла . Подставляя данные значения коэффициента в (27)

.