Вынужденные колебания. Резонанс

Если колебательная система подвергается воздействию внешней периодической силы, то возникают так называемые вынужденные колебания, имеющие незатухающий характер. Вынужденные колебания следует отличать от автоколебаний. В случае автоколебаний в системе предполагается специальный механизм, который в такт с собственными колебаниями "поставляет" в систему небольшие порции энергии из некоторого резервуара энергии. Тем самым поддерживаются собственные колебания, которые не затухают. В случае автоколебаний система как бы сама себя подталкивает. В случае вынужденных колебаний система подталкивается посторонней силой. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω0. Если свободные колебания происходят на частоте ω0, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы.

Уравнение второго закона Ньютона для пружинного маятника, на который действует периодически изменяющаяся сила, будет иметь вид: mx=-kx-rx+F0cosωt

Разделив это уравнение наm, и перенеся члены с x и в левую часть, получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

Решение данного уравнения имеет следующий вид:

Первое слагаемое в правой части этой формулы представляет свободные колебания их частота ω определяется внутренними свойствами системы, а амплитуда А0 и фаза φ’ —начальными условиями и внешними воздействиями. Второе слагаемое, называемое вынужденными колебаниями, обусловлено наличием внешней (вынуждающей) силы.

Первое слагаемое в этом выражении играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя роль первого слагаемого все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя лишь второе слагаемое.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, соответствующая частота – резонансной частотой. Чтобы определить резонансную частоту ωрез, нужно найти максимум функции определяющей зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Продифференцировав выражение:

по ω и приравняв нулю, получим условие, определяющее ωрез: Данное уравнение имеет три решения:

Решение равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное не подходит, как не имеющее физического смысла. В результате, для резонансной частоты получается значение:

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой.

При очень большом затухании выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается – с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает. При стремлении ω к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному , т.е.

Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины F0.