Третий критерий обратимости матрицы. Матрицы А и В называются делителями нуля, если А и В = 0

Матрицы А и В называются делителями нуля, если А и В = 0. При этом они являются нетривиальными делителями нуля, если А≠0 и В≠0.

ТЕОРЕМА: Матрица А является обратимой тогда и только тогда, когда она не является нетривиальными делителями нуля.

ДОКОЗАТЕЛЬСТВО:

Необходимость: Предположим, что матрица А обратима, но вопреки утверждению является нетривиальными делителями нуля. Это значит:

А^-1А=En, AA^-1=En, B≠0: BA=0, B(AA^-1)=0*A^-1, B=0

Достаточность: Предположим, что матрица А необратима, но не является нетривиальным делителем нуля. Рассмотрим равенство А=ВDrС. Поскольку матрица А – необратима, матрица Dr, тоже необратима. Значит матрица Dr*≠0. Рассмотрим матрицу G=C^-1Dr*B^-1≠0. Найдем

АG=BDr(CC^-1)Dr*B^-1=BDrDr*B^-1=B0B^-1=0, таким образом матрица А является нетривиальным делителем нуля, что противоречит предпосылки.

Конструктивное представление разложения матрицы на произведение простейших

Поскольку каждое строчное (столбцовое) элементарное преобразование равносильно умножению на соответствующую элементарную матрицу слева (справа) то процедуру приведения матрицы А к виду Dr схематически можно представить так:

А ϵ M_mxn (|R)

СЛЕДСТВИЕ: В частности если матрица А квадратная и обратимая, то выполняя только преобразования строк мы получим схему: (A|En) (En|A^-1), а если выполнять преобразования столбцов, то: .

СЛАУ