Критерий устойчивости Найквиста

1. Если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудо – фазочастотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой системы при изменении частоты w от 0 до ∞ не охватывала точку с координатами -1;j0.

2. Если разомкнутая система неустойчива, а её передаточная функция имеет m полюсов справа от мнимой оси, на комплексной плоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты w от -∞ то +∞ охватывала m раз точку с координатами -1;j0.

Лабораторная работа выполняется в пакете математических программ Matlab. При выполнении лабораторной работы рекомендуется пользоваться командами Matlab:

series (w1,w2)	- определение эквивалентной передаточной функции из n последовательно соединённых динамических звеньев.
parallel (w1,w2)	- определение эквивалентной передаточной функции из n параллельно соединённых динамических звеньев.
feedback (w1,w2)	- включение динамического звена w2 в контур отрицательной обратной связи звена w1
A=[…,…,…,]	- ввод определителя A в программу
det (A)	- команда вычисления определителя
margin (w)	- команда определяющая запас устойчивости по амплитуде и по фазе
step (w)	- переходная характеристика передаточной функции w

Пусть задана структурная схема некоторого объекта управления (рисунок 1). Передаточные функции звеньев , , , .

Таблица 1.

Преобразованная структурная схема представлена на рисунке 2.

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Ниже приведена программа определения эквивалентной передаточной функции системы автоматического регулирования, заданного в структурной схеме (рисунок 2).

w1=tf([8],[7 1]);

w2=tf(14);

w3=tf([10],[2 0.8 1]);

w4=tf([78 0],1);

w24=parallel(w4,w2);

w23=series(w3,w2);

w123=feedback(w1,w23);

w=series(w123,w24)

wr=series(w1,w24)

Результаты выполнения программы:

Передаточная функция замкнутой САР.

Transfer function:

Transfer function:

224 s^3 + 1338 s^2 + 611.2 s + 624

-------------------------------------------

14 s^4 + 7.6 s^3 + 7.8 s^2 + 1121 s

Передаточная функция разомкнутой САР.

Transfer function:

15680 s + 87360

------------------------------------

14 s^4 + 7.6 s^3 + 7.8 s^2 + s

Определим устойчивость САР при помощи критерия Гурвица. Характеристическое уравнение замкнутой САР . Составим квадратную матрицу:

A= .

Программа определения устойчивости заданной САР методом Гурвица приведена ниже:

A1=[1121];

det (A1)

A2=[1121 7.6;0 7.8];

det (A2)

A3=[1121 7.6 0;0 7.8 16;0 1121 7.6];

det (A3)

A4=[1121 7.6 0 0;0 7.8 16 0;0 1121 7.6 0;0 0 7.8 16];

det(A4)

Ниже приведены результаты выполнения программы:

ans =

ans =

8.7438e+003

ans =

-2.0040e+007

ans =

-3.2064e+008

Как видно из результатов выполнения программы третий и четвёртый определители Гурвица имеют отрицательный знак, т.е. система неустойчива.

Определим устойчивость системы при помощи критерия Найквиста. Для этого введём команду nyquist (wraz). Результат выполнения команды показан на рисунке 3.

Рисунок 3.

АФЧХ передаточной функции разомкнутой САР охватывает точку с координатами -1;j0, следовательно Даная САР неустойчива.

Содержание отчёта:

Выполнить исследование устойчивости замкнутой САУ по заданной структурной схеме. Варианты заданий приведены в ниже.

Отчет должен содержать:

– расчёт передаточной функции разомкнутой системы;

– расчет передаточной функции замкнутой системы;

– расчетные выражения для обоснования устойчивости замкнутой

системы по алгебраическому критерию Гурвица;

– годограф Найквиста разомкнутой системы, на основании которого

делается вывод об устойчивости замкнутой системы;

– переходную функцию замкнутой системы;

- определение запаса устойчивости по амплитуде и по фазе (если САР устойчивости);

- краткие выводы.

Передаточна функция	Коэффициенты передаточной функции
	4/8	-	-	7/2	-
	-	10/2,2	4,7/1,2	1,6/0,52	1/1
	-	-	6,7/1,8	-	4,2/1

Примечание: В числителе даны значения коэффициентов для первой подгруппы, а в знаменателе – для второй.