Процесс ортогонализации

Опр: ВП V над R с введённым на нем скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Пример1: На Rⁿ введём скалярное произведение так:

`a=(a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,…,a<sub>n</sub>),`b=(b₁,b₂,…,b_n).

Назовем скалярным произведением (`a,`b)=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n

Пример2: V₃- геометрическое векторное пространство радиус-векторов плоскости.

Опр: Пусть Е – евклидово пространство. а, bÎЕ, а и b называются ортогональными, если (а,b)=0.

Опр: Система векторов пространства Е называется о ртогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны.

Теорема: Ортогональная система векторов линейно независима (обратное не выполняется).

Опр: Базис называется ортогональным, если все его векторы попарно ортогональны.

Опр: Вектор наз. нормированным (единичным), е/и его скалярный квадрат =1.

Опр Базис наз. ортонормированным, если все векторы в нём попарно ортогональны и каждый вектор ортонормирован.

Процесс ортогонализации.

Зададимся целью из произвольного базиса ВП построить ортонормированный. Разобьём задачу:

1.Из произвольного базиса построим ортогональный.

2.Нормируем полученный базис.

Рассмотрим произвольный базис (a₁,a₂,…,a_n) евклидова ВП. Построим ортогональный базис e₁,e₂,…,e_n.

1) b₁=a₁

2) b₂=l₁b₁+a₂. l₁ найдём из условия ортогональности векторов

(b₁,b₂)=0;(b₁,l₁b₁+a₂)=0Þl₁=-(b₁,a₂)/(b₁,b₁). Подставив l₁ в b₂ найдем вектор b₂.

3.b₃=m₁b₁+m₂b₂+a₃;

(m₁b₁+m₂b₂+a₃,b₁)=0; Þm₂=-(a₃,b)/(b₁,b₁).

Этот процесс конечен, состоит из n шагов, он позволяет получить ортогональный базис, который можно нормировать.

Опр.: Ортонормированным базисом Евклидова простр-ва Е наз-ся ортогональный базис этого простр-ва, каждый вектор которого нормирован.

Теор: Всякое n-мерное Евклидово простр-во обладает ортонормир-м базисом. (Простр-во Е обладает ортогональным базисом {a₁,a₂,…,a_n}. Нормируя каждый из векторов базиса получим ортонормируемый базис {e₁,e₂,…,e_n}).

(к билету №10) Найти

Решение: