Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида 
.
| Необходимый признак сходимости ряда
|
Теорема. Если ряд сходится, то
 un=0. Доказательство. Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел  =S. Тогда имеет место также равенство  =S, так как при n  и (n-1) . Вычитая почленно из первогоравенства второе, получаем  -  =  =  un=0, что и требовалось доказать.
Следствие. Если  un≠0, то ряд u1+u2+…+un… расходится.
|
| Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов
|
Числовой ряд называется знакоположительным, если un>0 при всех n=1,2,3….
Нахождение суммы ряда S=  часто связано с большими техническими трудностями. В таких случаях сумму находят приближённо: S≈Sn.
Последнее равенство тем точнее, чем больше n, при условии, что ряд сходится. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости числовых рядов. В этом параграфе будем рассматривать знакоположительные числовые ряды. Для таких рядов частичные суммы S1, S2, …,Sn,… образуют возрастающую числовую последовательность S1<S2<…<Sn<….
Возможны два случая:
1) последовательность частичных сумм неограничена; в этом случае =∞ и ряд расходится;
2) последовательность частичных сумм ограничена, то есть существует такое число С>0, что Sn<C при любых n=1,2,…. В этом случае существует конечный предел , следовательно, ряд сходится.
Таким образом, для доказательства сходимости знакоположительного числового ряда достаточно доказать ограниченность последовательности его частичных сумм.
|
23. Знакочередующиеся и знакопеременные
ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и относительная (условная) сходимость.Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является
знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.
Признак Лейбница
Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть { an } является числовой последовательностью, такой, что
1. an +1 < an для всех n; 2.  .
Тогда знакочередующиеся ряды  и  сходятся.
Абсолютная и условная сходимость
Ряд  называется абсолютно сходящимся, если ряд  также сходится.
Если ряд  сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно. Ряд  называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
|
| |
| |
