Метод, основанный на теории вероятностей

Последовательность шагов:

1. Построение исходного дерева вероятностей на основе предположения о том, что несовместимые исходы реализации ТФС, для которой выводятся формулы, подчиняются теореме о полной вероятности. Предположение о том, что все возможные исходы реализации ТФС образуют полную группу событий, является достаточно обоснованным, и, следовательно, вероятности исходов удовлетворяют следующему условию: .

Таким образом, в соответствии с теоремой о полной вероятности, “ вероятность события В, которое может наступить при появлении одного из несовместных событий , образующих полную группу событий”, принимает следующий вид:

,

где – условная вероятность наступления события В при условии, что произошло событие .

Рис. 6.3. Типовая функциональная структура “рабочая ТФЕ + ТФЕ

функционального контроля” и фрагмент дерева вероятностей

Например, для приведенной ранее ТФС “рабочая ТФЕ + ТФЕ функционального контроля“ (рис. 5.3) имеем

2. Определение зависимостей, определяющих результирующие вероятности после повторений ТФС, производится на основе формулы суммы членов геометрической прогрессии:

,

где – сумма членов геометрической прогрессии; – вероятность исхода при - ом повторении.

Сумма членов геометрической прогрессии:

, а .

3. Определение зависимостей, выражающих предельные вероятности при отсутствии ограничений на число возможных повторов ().

Например: , так как т. е. вероятность ошибочного выполнения ТФС L раз подряд при равна нулю.

4. Получение формул для расчета и .

Так как (по предположению) условная вероятность безошибочного выполнения ТФС не зависит от числа повторений, то = , а , т. е. = .

5. Получение формулы для расчета .

Среднее время реализации всей ТФС определяется суммой математических ожиданий времен последовательно выполняемых ТФЕ, входящих в ТФС, умноженной на математическое ожидание числа повторений, т. е. на

Предполагается, что распределение числа повторений является геометрическим. Геометрическое распределение случайной величины x, равной числу независимых испытаний, повторяющихся до первого успеха с вероятностью успеха в единичном испытании равной p, может быть записано в следующем виде:

где .

Математическое ожидание и дисперсия равны соответственно:

и .

Следовательно, для случайного числа повторений ТФС имеем (для ТФС “рабочая ТФЕ + ТФЕ функционального контроля“):

, .

6. Получение формулы для расчета .

Учитывая, что в выявленных (приведенных) ТФС последовательно выполняется не более 2-х ТФЕ, формула для расчета дисперсии ТФС определяется как дисперсия произведения двух случайных величин и

Необходимо заметить, что получение формулы для расчета D_S(T) предполагает, по умолчанию, независимость продолжительности выполнения рабочей операции от числа повторов и от текущего времени (времени с начала смены), что, вообще говоря, является идеализацией, так как предполагает, что оператор не устает и не нервничает.

Аналогично в п.5 и 6 по умолчанию предполагается независимость вероятностей правильного (ошибочного) выполнения рабочих и операций и верного проведения контролей, т. е. правильного распознавания результатов рабочих операций, от числа повторов, что безусловно является идеализацией, такой же как и в предыдущем случае.

Для получения более адекватной математической модели исследуемой типовой (нетиповой) функциональной структуры, описывающей один или несколько реальных алгоритм функционирования некоторой АСОИУ при решении часто встречающихся задач, следует учитывать возможность зависимости соответствующих вероятностей от номера повторения, что, вообще говоря, значительно усложняет вычислительные формулы, получаемые на основе использования аппарата производящих функций, без существенного изменения точности получаемого результата (для высоконадежных операторов).

При проведении расчетов на ранних этапах проектирования, при неточных исходных данных, возможно применение приближенных расчетных методов или методов моделирования.