Примеры решения задачи 1

Группы 4223.

Семестр 2012/2013 уч.год. Преподаватель: Макусева Т.Г.

Указания по выполнению контрольной работы.

1. На обложке тетради необходимо написать фамилию, имя, отчество, курс, группу, номер студенческого билета, вариант контрольной работы и дату сдачи ее в институт.

2. Решение задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя их номер.

3. Перед решением каждой задачи выписать полностью условие.

4. Решение каждой задачи сопровождать объяснениями и заканчивать ответом.

5. Оформление решений производить аккуратно, с минимальным количеством исправлений. Оставить поля для замечаний проверяющего.

6. Для решения заданий контрольной работы рекомендуется использовать лекции, а также следующую литературу:

Для выполнения контрольной работы можно использовать разобранные ниже примеры, лекции, а также любые учебники в содержании которых имеется интегральное исчисление.

Тема «Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных».

Задача 1.

В задачах 141–160 найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) ; в) .

3. а) ; б) ; в) .

4. а) ; б) ; в) .

5. а) ; б) ; в) .

6. а) ; б) ; в) .

7. а) ; б) ; в) .

8. а) ; б) ; в) .

9. а) ; б) ; в) .

10. а) ; б) ; в) .

11. а) ; б) ; в) .

12. а) ; б) ; в) .

13. а) ; б) ; в) .

14. а) ; б) ; в) .

15. а) ; б) ; в) .

16. а) ; б) ; в) .

17. а) ; б) ; в) .

18. а) ; б) ; в) .

19. а) ; б) ; в) .

20. а) ; б) ; в) .

Примеры решения задачи 1.

а) Найти .

Решение. Применяя подстановку , приведем данный интеграл к табличному интегралу 2. Положим , тогда .

.

а1) Найти .

Применяя подстановку , приведем данный интеграл к формуле 10.

Положим , тогда .

.

в1) Найти .

Принимаем и ; тогда и , следовательно .

в2) Найти .

Принимаем и ; тогда и . Применяя формулу интегрирования по частям, будем иметь:

в3) Найти .

Принимаем и ; тогда и , следовательно,

б) Найти интеграл .

Преобразуем знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла, следующим образом:

.

Тогда после подстановки получаем

=

=

При этом при вычислении интеграла мы воспользовались заменой переменной . Тогда , откуда

Задача 2. (Номер задачи соответствует последней цифре номера зачетной книжки).

Задача

Пример решения задачи 3.

Пример:

Исследовать на экстремум функцию .

На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:

Частные производные первого порядка от функции равны:

Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

Выпишем отдельно первое уравнение системы и найдем его корни:

Подставим найденные значения переменной во второе уравнение системы:

и

Таким образом, получили две точки и , в которых будет продолжено исследование функции на экстремум.

На втором шаге найдем все вторые частные производные от функции На втором шаге найдем все вторые частные производные от функции z:

Для точки

Так как дискриминант больше нуля и

, то функция z имеет минимум в точке .

2) Для точки

Так как дискриминант меньше нуля, то функция z не имеет в точке ни минимума, ни максимума.

Ответ: в точке функция имеет минимум .