Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Схемой Бернулли называют последовательность испытаний, удовлетворяющую условиям: 1) результатом каждого испытания является один из двух возможных исходов: «успех» (появление некоторого события ) и «неудача»; 2) испытания являются независимыми, т.е. вероятность «успеха» в каждом следующем испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний; 3) вероятность «успеха» во всех испытаниях одинакова и равна .
Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли произойдёт ровно «успехов», определяется формулой Бернулли:
, .
Следствием формулы Бернулли является формула: - вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли «успех» наступит хотя бы один раз.
Для решения задач с использованием формулы Бернулли следует:
1) установить, что эксперимент представляет собой схему Бернулли (вероятности событий, связанных с таким экспериментом, всегда можно выразить через вероятности , вычисляемые по формуле Бернулли);
2) рассмотреть событие , которое может наступить или не наступить в каждом испытании и вычислить его вероятность ;
3) рассмотреть событие , вероятность которого нужно найти и которое состоит в том, что событие в данном эксперименте появляется определённое число раз;
4) найти , выразив её предварительно, через вероятности , вычисляемые по формуле Бернулли.
Эксперимент (последовательный выбор пяти шаров из урны с неизменным составом шаров) представляет собой, очевидно, схему Бернулли.
Рассмотрим событие {вынутый из урны шар – белый}. Это событие происходит или не происходит при каждом выборе шара из урны с одной и той же вероятностью .
Рассмотрим событие {из пяти вынутых из урны шаров, белых - не более двух}. Таким образом, событие состоит в том, что в данном эксперименте событие произойдёт или раза.
Выразим через -вероятности того, что событие в испытаниях по схеме Бернулли произойдёт ровно раз: .
Вычислим вероятности по формуле Бернулли:
,
,
.
Тогда .
Ответ: - вероятность того, что среди пяти вынутых шаров окажутся не более двух белых шаров.
171-180. Производятся последовательные независимые испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытания для каждого из приборов равна 0.9. Требуется: составить закон распределения дискретной случайной величины – числа испытанных приборов; построить многоугольник полученного распределения; вычислить её математическое ожидание и дисперсию .
Решение.
Закон распределения ДСВ удобно задавать рядом распределения. Рядом распределения ДСВ называют таблицу, в которой перечислены все возможные значения этой случайной величины и соответствующие им вероятности .
Случайная величина – число испытанных приборов, может, очевидно, принимать значения: . Вычислим вероятности этих значений , используя формулы сложения и умножения вероятностей.
Для вычисления вероятностей могут, в зависимости от условий задачи, использоваться также формулы классического определения вероятности и Бернулли.
Рассмотрим события { - ый испытанный прибор – надёжный } (), вероятность которых одинакова и равна . Противоположными к событиям являются события { - ый испытанный прибор–ненадёжный }, вероятность их одинакова и равна .
Выразим события , где , через события и :
{испытывался один прибор},
{испытывались два прибора},
{испытывались три прибора},
{испытывались четыре прибора},
{испытывались все пять приборов}. Очевидно, все пять приборов будут испытаны только при условии, что первые четыре оказались надежными, причем они будут испытаны при любом исходе пятого испытания: или .
Вычислим вероятности , используя формулы умножения вероятностей для независимых, по условиям задачи, событий и :
,
,
.
.
Если при вычислении вероятностей производится округление их значений, то округление выполняется таким образом, чтобы .
Тогда ряд распределения дискретной случайной величины имеет вид:
.
Для наглядности закон распределения ДСВ изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру и называют многоугольником распределения.
Построим многоугольник полученного распределения:
Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины называется число .
Вычислим математическое ожидание :
.
Дисперсией случайной величины называется неотрицательное число .Дисперсию дискретной случайной величины вычисляют по формулам: или .
Дисперсию вычислим по формуле , где
.
Тогда .
Ответ: , , .
181-190. Дана выборка объема :
23 23 21 20 20 23 23 25 23 20 20 24 21 25 21
Требуется: а) построить вариационный и дискретный статистический ряды;
б) вычислить числовые характеристики выборки: , , (размах), (среднее арифметическое), (дисперсию); в) построить полигон частот.
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 3551 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!