Раздел 1. РасчЁты при растяжении-сжатии 2 страница

Для проверки правильности найденных усилий в опорных стержнях составим уравнение равновесия: :

,

,

,

значит, существует тождество , которое говорит, что усилия в стержнях найдены верно.

2. Подбор размеров поперечного сечения стержней.

Подбор размеров сечения стержней выполняется по условию прочности по допускаемым напряжениям при растяжении-сжатии (1.4), согласно которому для каждого стержня

, (1.11)

где – нормальное напряжение; – допускаемое нормальное напряжение, причём если стержень растянут, то принимаем , если сжат, то ; – продольное усилие в стержне; – поперечное сечение стержня. Пусть стержень 1 ‒ квадратного сечения, стержни 2 и 3 ‒ круглого.

Для 1-го стержня квадратного сечения площадь , где – сторона квадрата. Стержень 1 растянут, условие прочности (1.11) для него принимает вид

.

Подставляя выражение площади квадратного сечения, получим

,

откуда .

Принимаем .

Замечание 2: полученное из условия прочности значение размеров сечения округляется в бо'льшую сторону.

Для 2-го стержня круглого сечения площадь поперечного сечения , где – диаметр стержня. Стержень 2 растянут, поэтому условие прочности (1.11) для него принимает вид

.

Подставляя выражение площади стержня 2 как , получим

,

Откуда .

Принимаем в соответствии со знаком «больше либо равно» .

Составим условие прочности для 3-го стержня. Стержень 3 сжат, то по условию (1.11)

.

Замечание 3: для сжатого стержня в условие прочности ставим модуль продольной силы.

Подставляя площадь круглого сечения , получим

,

Откуда .

Принимаем .

Задача 2. Подбор размеров сечения стержней фермы

Для плоской фермы (рис. 1.5, а) задана нагрузка. Исходные значения: м; кН/м; ; .

Требуется:

1. С помощью уравнений равновесия определить опорные реакции.

2. Используя метод вырезания узлов, определить усилия в стержнях фермы.

3. Подобрать размеры поперечного сечения стержней из условия прочности по допускаемым напряжениям, если допускаемые напряжения МПа. Сечение сжатых стержней принять в форме кольца с соотношением внутреннего и внешнего диаметров равным 0,5, а сечении растянутых стержней – в виде швеллера.

а
б
в	г	д

Рис. 1.5

Решение

1. Определение опорных реакций

Обозначим реакции, возникающие в опорах и . Опора шарнирно-подвижная, имеем один вертикальный опорный стержень, вдоль которого возникает одна вертикальная реакция (см. замечание 1) (рис. 1.5, б). Опора шарнирно-неподвижная, она препятствует смещению узла по вертикали и горизонтали, поэтому в ней в общем случае возникает две реакции: горизонтальная и вертикальная , но поскольку в горизонтальном направлении нет других сил, то из уравнения следует, что .

Ферма нагружена системой параллельных сил , и . Составим два уравнения равновесия:

Запишем эти уравнения:

Из (1.12) кН.

Из (1.13) кН.

Проверку найденных рекций выполним по неиспользованному уравнению, которое при правильном вычислении реакций удовлетворяется тождественно, : ;

;

; ,

значит, реакции найдены верно.

Равенство есть следствие симметрии фермы, поэтому можно сформулировать следующее.

Замечание 4: в симметричной схеме при симметричной нагрузке реакции равны друг другу, а величина их составляет половину нагрузки.

2. Определение усилий в стержнях фермы

Обозначим узлы и пронумеруем стержни (рис. 1.5, б). В стержнях ферм, которые имеют по концам шарниры, возникают только продольные силы (см. замечание 1). Их значение определим методом вырезания узлов, который основан на методе сечений. По этому методу последовательно вырезаем каждый узел фермы и рассматриваем его равновесие. В данной ферме в силу её симметрии необходимо и достаточно выделить три узла: узлы , , .

Первым вырезаем узел (рис. 1.5, в), в котором сходятся два стержня: 1 и 2. Продольные усилия в стержнях и направляем от сечения, предполагая растяжение. Для этого, как и для каждого узла имеем сходящуюся систему сил, поэтому составляем два уравнения равновесия, из которых и найдём неизвестные усилия,

Запишем эти уравнения для узла

или

Из полученных урвнений вычислим усилия и :

кН,

кН.

Продольное усилие отрицательно, значит, стержень 1 сжат. Продольное усилие положительно, поэтому стержень 2 растянут.

Следующим нужно рассматривать узел, в котором неизвестны два продольных усилия; в нашем примере вырезаем узел (рис. 1.5, г), в котором неизвестны усилия в стержнях 3 и 4. Ставим усилия в стержнях , , и реакцию . Составляем уравнения равновесия узла по :

Подставив уже найденное значение , получим систему двух уравнений относительно неизвестных и :

Отсюда

,

кН.

Стержень 3 не растягивается и не сжимается, поскольку продольное усилие в нём равно нулю. Т.к. продольное усилие отрицательно, то стержень 4 сжат.

Сдедующим вырезаем узел (рис. 1.5, д), для которого уравнения равновесия по будут

Или

Получаем и кН. Стержень 6 не деформируется, поскольку продольное усилие в нём равно нулю. Усилие отрицательно, это означает, что стержень 5 сжат.

Поскольку конструкция симметричная, то достаточно рассмотреть лишь одну её половину и можно записать внутренние усилия в симметричных стержнях второй половины,т. е. усилия попарно равны

кН; кН;

кН; кН.

3. Подбор размеров сечения стержней

Размеры поперечного сечения стержней подбираем из условия прочности по допускаемым напряжениям, которое при растяжении-сжатии по (1.4) имеет вид

,

где – нормальное напряжение в стержне; – допускаемые нормальное напряжение, здесь при растяжении и сжатии они одинаковы; – продольное усилие в стержне; – поперечное сечение стержня.

Для растянутых стержней нужно выбирать номер швеллера. Если нет дополнительных условий, считаем все растянутые стержни одинакового сечения. Максимальные растягивающие усилия кН, тогда из условия прочности требуемая площадь сечения растянутых стержней

.

По таблице ГОСТ 8240-93 (табл.5 Приложения) выбираем швеллер № 5 с площадью для стержней 2 и 8.

Для сжатых стержней выбираем кольцевое сечение, для которого площадь . Считая все сжатые стержни одинаковой площади и взяв максимальное сжимающее усилие кН, найдём требуемую площадь сечения как

.

Тогда диаметр поперечного сечения сжатых стержней

.

Принимаем диаметр для стержней 1, 4, 5, 9.

Стержни, в которых , можно принять также круглого сечения, поэтому для стержней 3, 6, 7 принимаем диаметр .

Задача 3. Проектный расчёт ступенчатого бруса

Для стального ступенчатого бруса (рис. 1.6, а) задана конфигурация и известна внешняя нагрузка.

Требуется:

1. Построить эпюру продольных сил .

2. Составить выражения для нормальных напряжений по всем участкам бруса, используя указанные на схеме бруса значения площадей сечения через неизвестную величину .

3. Установить , составить условие прочности бруса по допускаемым напряжениям. Найти из этого условия требуемое значение при МПа и назначить площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними.

4. Построить эпюры нормальных напряжений и продольных перемещений , считая модуль упругости МПа. Указать и проверить жёсткость при допускаемом продольном перемещении мм. Если условие жёсткости не удовлетворяется, назначить новые площади сечений.

5. Для опасного сечения бруса вычислить касательные и нормальные напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом =45° к оси бруса.

6. Какую силу нужно приложить к свободному торцу бруса, чтобы вернуть его в первоначальное положение?

Исходные значения: м; кН/м; .

Решение

1. Построим эпюру продольных сил .

Вычислим значения продольных силметодом сечений. Данный брус состоит из 3-х участков. Будем рассматривать отсечённые участки для каждого участка, начиная со свободного конца (рис. 1.6, б, в, г). При этом продольную силу в сечении, которая является внутренним усилием, всегда изображаем положительной, т.е. растягивающей рассматриваемый участок.

Уравнение равновесия для отсечённой части каждого участка при растяжении-сжатии представляет собой равенство нулю суммы проекций всех сил на продольную ось (1.1), т. е. .

Записывая это уравнение последовательно для всех участков получим продольные силы для каждого участка:

;

.

По этим значениям построим эпюру (рис. 1.6, д).

2. Выражения для нормальных напряжений

Составим выражения для нормальных напряжений по всем участкам бруса, используя указанные на схеме бруса значения площадей сечения через неизвестную величину .

а б в г д е ж

Рис. 1.6

Нормальное напряжение вычисляем для каждого участка бруса по формуле (1.3) как

.

Получаем ;

.

3. Нахождение и условие прочности

Условие прочности ступенчатого бруса при растяжении-сжатии по допускаемым нормальным напряжениям имеет вид (1.5), согласно которому

. (1.15)

Значит, нужно выбрать из полученных значений нормальных напряжений наибольшее по модулю значение, здесь имеем

. Тогда по (по1.15) получаем .

Из этого условия вычислим требуемое значение и назначим площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними.

.

Принимаем . Назначим площади всех участков бруса, соблюдая указанные на схеме бруса соотношения между ними:

, , .

4. Э пюры нормальных напряжений и продольных перемещений.

Вычислим значения нормальных напряжений по участкам бруса, используя полученные выше выражения.

;

.

Откладывая полученные значения от базисной линии, построим эпюру распределения нормальных напряжений по длине балки (эпюру ) (рис. 1.6, е).

Построим эпюры продольных перемещений .

Перемещения поперечных сечений бруса вычисляют по (1.7) через продольные деформации участков бруса .Сначала найдём деформации участков бруса.

Согласно формуле (1.6) ,

где – модуль упругости первого рода или модуль Юнга; – площадь поперечного сечения; – длина участка бруса. Заметим, что в случае постоянной по участку продольной силы имеем .

.

.

.

Теперь определим продольные перемещения δ_i характерных сечений, обозначив сечения буквами , , , . Так как точка находится в заделке, то перемещение ; Перемещения сечений , , определяем с помощью (1.7):

;

;

.

На участке 2 эпюра продольных сил пересекает нулевую линию в точке (рис. 1.6, д), в этом сечении будет перегиб на эпюре перемещений, поэтому определим координату из условия :

получаем ; отсюда .