Безусловный и условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа

Безусловный экстремум

Требуется найти максимум (минимум) функции

(задача на безусловный экстремум).

Известно, если функция является непрерывной вместе со своими частными производными первого порядка, то в точке экстремума её частные производные по всем переменным обращаются в ноль

. (64)

Координаты точки экстремума функции (1) являются решением системы уравнений (64). Точки, в которых выполнено равенство (64), называют стационарными или критическими.

Условие (64) является необходимым, но недостаточным условием существования локального экстремума функции. Достаточное условие существования экстремума для функции многих переменных, имеющих непрерывные частные производные первого и второго порядка, состоит в том, что матрица Гессе

является положительно определенной (тогда – точка минимума функции) или отрицательно определенной (тогда – точка ее максимума).

Рассмотрим квадратную матрицу

.

Минором k -го порядка матрицы называется определитель квадратной матрицы, полученный из данной матрицы выделением произвольных k строк и k столбцов. Сами элементы матрицы можно рассматривать как миноры первого порядка. Минор называется главным, если он составлен из строк и столбцов с одинаковыми номерами. Миноры называются последовательными главными минорами. Матрица называется положительно определенной, если ее последовательные главные миноры положительны: . Матрица называется отрицательно определенной, если последовательность, составленная из главных миноров, является знакопеременной, например:

Пример 1. Найти точки экстремума функции

.

Решение. Найдем стационарные точки из системы:

Итак, стационарной является точка . Вычислим частные производные 2-го порядка в точке и составим матрицу Гессе.

.

Вычислим главные миноры матрицы Гессе:

.

Они образуют знакопеременную последовательность. Это значит, что матрица Гессе является отрицательно определенной. Следовательно, – точка локального максимума.

Если – неопределенная матрица, то есть она не является ни положительно определенной, ни отрицательно определенной, то в этой точке функция не достигает экстремума.

Пример 2. Найти экстремум функции

.

Решение. Найдем стационарные точки из системы:

Итак, стационарная точка . Составим матрицу Гессе:

.

В этой матрице главные миноры равны и детерминант матрицы . Отсюда следует, что не является точкой экстремума.

Условный экстремум. Метод неопределенных множителей
Лагранжа

Рассмотрим частный случай общей ЗНП. Пусть система условий-ограничений (2) содержит только уравнения, и нет условий неотрицательности переменных:

;

Для её решения можно воспользоваться классическим методом нахождения условного экстремума функции нескольких переменных. При этом полагаем, что функции и , непрерывны вместе со своими производными первого порядка. Для решения задачи составим функцию

(65)

Найдем частные производные , и приравняем их нулю. В результате получим систему уравнений.

(66)

Функция F называется функцией Лагранжа, а числа – множителями Лагранжа. Если функция в точке имеет экстремум, то существует такой набор чисел , что точка является решением системы (66). Решая систему (66), получаем множество точек, в которых функция может иметь экстремумы. Если решения системы найдены, то для определения глобального максимума (минимума) достаточно вычислить значения функции в полученных точках и сравнить их. Если для функций L и существуют вторые частные производные и они непрерывны, то можно проверить достаточное условие существования экстремума функции в точке.

Пример. Найти точку условного экстремума функции при ограничениях .

Решение. Составим функцию Лагранжа

и продифференцируем ее по переменным . Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:

(67)

Из первого и третьего уравнения системы (67) находим . Тогда далее получаем

(68)

Решаем систему (68): .

Множители Лагранжа имеют экономическую интерпретацию. Если функцию L рассматривать как доход или затраты, а b_i – как объемы некоторых ресурсов, то множители Лагранжа показывают, как изменится максимальный доход (или минимальные затраты), если количество ресурса i -го вида увеличится на единицу.

Ключевые слова: стационарная точка, матрица Гессе, функция Лагранжа, положительно определенная матрица.

Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под задачей безусловной оптимизации?

2. Что такое стационарная точка?

3. Определите матрицу Гессе и её роль в определении экстремальной точки.

4. Какой вид имеет функция Лагранжа?

5. В чем идея метода Лагранжа?

6. Каков экономический смысл множителей Лагранжа?

Задачи для самостоятельного решения

Пример 1. Найти локальный экстремум функций:

1) ; 2) ;
3) ; 4) .

Пример 2. Найти условный экстремум задач методом Лагранжа:

1) .

2) .

3) .

4) .

Пример 3. Составить математическую модель экономических задач и решить их методом Лагранжа

1) По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве изделий первым способом затраты равны тыс. руб., а при изготовлении изделий вторым способом затраты составляют тыс. руб. Определить сколько изделий каждым из способов следует изготовить, так чтобы общие затраты на производство продукции были минимальными.

2) Фирма занимается продажей автомобилей через магазин и торговых агентов. При продаже единиц автомобилей через магазин затраты фирмы равны тыс. руб. А при продаже единиц автомобилей через торговых агентов они составляют тыс. руб. Сколько автомобилей должна продать фирма по каждому из способов продажи, чтобы общие затраты были минимальными.