Нечеткие множества

Понятие нечетких множеств (fuzzy sets) было введено в 1965 г. Л.Заде как обощение понятия классических множеств. В нечетком множестве каждый его элемент может принадлежать множеству частично, тогда как в классических множествах элемент или целиком принадлежит множеству, или нет. Степень принадлежности элемента a нечеткому множеству A характеризуется коэффициентом принадлежности, обозначаемому muA(a).

muA(a) - действительное число, принимающее значение в диапазоне (0,1), при этом 1 означает 100%-ю (безусловную) принадлежность a к множеству А, а 0 - безусловное отсутствие a в А.

Отображение множества элементов x во множество значений muA(x) образует функцию принадлежности muA(x).

Функция muA(x) может быть определена явно в виде, например, алгебраического выражения или таблично (дискретно) в виде массива пар

{x1/muA(x1), x2/muA(x2),...,xN/muA(xN)}.

В теории нечетких множеств помимо числовых переменных существуют переменные лингвистические. Например, лингвистичекая переменная "температура тела человека" может принимать значения: "пониженная", "нормальная", "повышенная", "высокая".

Нечеткое множество "нормальная температура тела" может быть дискретно задано следующим образом:

{36,2/0,15, 36,3/0,33, 36,4/0,6, 36,5/0,85, 36,6/1,0, 36,7/0,85, 36,8/0,6, 36,9/0,33, 37,0/0,15}.

То же множество может быть представлено следующим выражением:

muнорм=exp(-((t-36.6)/0.3)2).

На представленном ниже рисунке даны графики функций принадлежности для множеств, связанных с лингвистической переменной "температура тела человека".

Носителем нечеткого множества A Supp(A) являются все элементы, для которых коэффициент принадлежности больше нуля, т.е. Supp(A)={x|muA(x)>0}. В приведенном выше примере табличного задания функции принадлежности носителем нечеткого множества "нормальная температура" является следующее множество:

{36,2, 36,3, 36,4, 36,5, 36,6, 36,7, 36,8, 36,9, 37,0}.

Два нечетких множества A и B равны между собой тогда и только тогда, когда muA(x)=muB(x) для всех элементов этих множеств.

Кардинальное число нечеткого множества A - сумма коэффициентов принадлежности всех элементов этого множества, т.е. M(A)=sum[i](muA(xi)).

Нечеткое множество называется нормальным, если хотя бы один его элемент имеет коэффициент принадлежности равный 1.

Сечением Aalpha нечеткого множества A называется подмножество элементов A, для которых muA(x)>alpha (слабое сечение) или muA(x)>=alpha (сильное сечение), при этом alpha принадлежит [0,1].

Нечёткая логика (англ. fuzzy logic) и теория нечётких множеств — раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств. Понятие нечёткой логики было впервые введено профессором Лотфи Заде в 1965 году. В его статье понятие множества было расширено допущением, что функция принадлежности элемента к множеству может принимать любые значения в интервале [0...1], а не только 0 или 1. Такие множества были названы нечёткими. Также автором были предложены различные логические операции над нечёткими множествами и предложено понятие лингвистической переменной, в качестве значений которой выступают нечёткие множества.

Предметом нечёткой логики является построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах

Направления исследований нечёткой логики

В настоящее время существует по крайней мере два основных направления научных исследований в области нечёткой логики:

нечёткая логика в широком смысле (теория приближенных вычислений);

нечёткая логика в узком смысле (символическая нечёткая логика).

Математические основы

Символическая нечёткая логика

Символическая нечёткая логика основывается на понятии t-нормы. После выбора некоторой t-нормы (а её можно ввести несколькими разными способами) появляется возможность определить основные операции над пропозициональными переменными: конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, отрицание и другие.

Нетрудно доказать теорему о том, что дистрибутивность, присутствующая в классической логике, выполняется только в случае, когда в качестве t-нормы выбирается t-норма Гёделя.

Кроме того, в силу определенных причин, в качестве импликации чаще всего выбирают операцию, называемую residium (она, вообще говоря, также зависит от выбора t-нормы).

Определение основных операций, перечисленных выше, приводит к формальному определению базисной нечёткой логики, которая имеет много общего с классической булевозначной логикой (точнее, с исчислением высказываний).

Существуют три основных базисных нечётких логики: логика Лукасевича, логика Гёделя и вероятностная логика (англ. product logic). Интересно, что объединение любых двух из трёх перечисленных выше логик приводит к классической булевозначной логике.

Теория приближенных вычислений

Основное понятие нечёткой логики в широком смысле — нечёткое множество, определяемое при помощи обобщенного понятия характеристической функции. Затем вводятся понятия объединения, пересечения и дополнения множеств (через характеристическую функцию; задать можно различными способами), понятие нечёткого отношения, а также одно из важнейших понятий — понятие лингвистической переменной.

Вообще говоря, даже такой минимальный набор определений позволяет использовать нечёткую логику в некоторых приложениях, для большинства же необходимо задать ещё и правило вывода (и оператор импликации).

Нечеткая логика и нейронные сети

Поскольку нечеткие множества описываются функциями принадлежности, а t-нормы и k-нормы обычными математическими операциями, можно представить нечеткие логические рассуждения в виде нейронной сети. Для этого функции принадлежности надо интерпретировать как функции активации нейронов, передачу сигналов как связи, а логические t-нормы и k-нормы, как специальные виды нейронов, выполняющие математические соответствующие операции. Существует большое разнообразие подобных нейро-нечетких сетей neuro-fuzzy network (англ.). Например, ANFIS (Adaptive Neuro fuzzy Inference System) - адаптивная нейро-нечеткая система вывода.[2] (англ.)

Она может быть описана в универсальной форме аппроксиматоров как

кроме того, этой формулой могут быть описаны также некоторые виды нейронных сетей, такие как радиально базисные сети (RBF), многослойные персептроны (MLP), а также вейвлеты и сплайны.

15 Функция принадлежности μ(х). Методы построения функции принадлежности

Допустим, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0;1), а не только значения 0 либо 1 (нет/да). Такие множества были названы нечеткими (fuzzy). Значению нуль соответствует полная непринадлежность, значению один соответствует полная принадлежность. Можно привести достаточно примеров использования четкой логики, но в тоже время мы можем легко найти ситуации, где этот метод испытывает недостаток в гибкости.

К примеру, при анализе штатного состава работников предприятия по возрасту обнаружили, что на предприятии имеются работники в возрасте от 17 до 70 лет. Т.е. Носителем U выступает отрезок [17, 70], измеряемый в годах человеческой жизни. Носитель U – это универсальное множество, к которому относятся все статистические данные. Возраст от 20 до 35 оценивается экспертами как бесспорно оптимальный, а больше 60 и меньше 18 – как бесспорно неоптимальный. В этом случае можно выделить нечеткое подмножество А, которому принадлежит отрезок от 18 до 60 лет. А принадлежит к U только с некоторой долей условности μ, которую называют функцией принадлежности. Функция принадлежности μА(u) – это функция, областью определения которой является носитель U, а областью значений – единичный интервал [0,1]. См. рис.

В нечеткой логике вводится понятие лингвистической переменной, значениями которой являются не числа, а слова естественного языка, называемые термами. В нашем случае лингвистической переменной является возраст, а термом — слово «оптимальный».

В настоящее время сложилось мнение, что для большинства приложений достаточно 3-7 термов на каждую переменную.

Можно привести ряд советов по определению количества термов:

-из анализа задачи проектирования и необходимой точности описания для большинства приложений вполне достаточно трех термов в переменной;

-составляемые нечеткие правила функционирования системы должны быть понятны и лаконичны;

-если не хватает словарного запаса в термах, следует увеличить их число, но при этом учитывать современные рекомендации психологов, что в кратковременной памяти человека может храниться до семи единиц информации.

Л. Заде определяет лингвистическую переменную Ω, состоящую из 5 частей: Ω = (X, T(X), U, G, М),

где: X — имя переменной; T(X) — множество терминов, то есть множество названий лингвистических значений X (термов); U — предметная область (носитель); G — грамматика, для генерации имен; М — множество правил для связи каждого X с его значением.