Ход выполнения работы. 1. Дискретное преоразование Фурье

1. Дискретное преоразование Фурье

Рассмотрим периодическую последовательность с периодом N отсчетов. Ее можно записать следующим образом:

. (1)

Соотношение (1) носит название обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ). Выражение для прямого дискретного преобразования Фурье (ДПФ) можно записать так:

. (2)

Из определений (1) и (2) видно:

1) Обе последовательности и периодичны с периодом в N отсчетов;

2) Из выражения (2) ясно, что полностью определяется значениями одного периода функции ;

3) Коэффициенты ДПФ последовательности конечной длины однозначно представляют саму последовательность, так как по ним можно точно восстановить исходную последовательность, используя ОДПФ.

2. Разрешающая способность спектрального анализа

В результате ДПФ спектр сигнала получается периодическим и дискретным. Из выражения (2) следует, что период спектра состоит из N отсчетов. Период повторения спектра равен частоте опроса исходного сигнала. Таким образом, расстояние между соседними отсчетами ДПФ определяется так:

, (3)

где F_ОП – частота опроса исходного сигнала, N – размер ДПФ.

Разрешающая способность спектрального анализа обратно пропорциональна расстоянию между соседними отсчетами. Из выражения (3) следует, что для увеличения разрешающей способности ДПФ необходимо либо уменьшить частоту опроса сигнала, либо увеличить размерность ДПФ. Первое приводит к снижению разрешающей способности по времени, второе – к увеличению накладных расходов на вычисление ДПФ.

3. Взвешивающие окна

Преобразование Фурье правомерно только для сигналов бесконечной длительности. Однако, поскольку реальные сигналы конечны во времени, и к тому же в большинстве ситуаций необходимо знать, как меняются спектральные свойства сигнала от одного момента времени к другому, при вычислении спектра сигнала используют конечные отрезки данного сигнала. Анализ конечного отрезка сигнала соответствует использованию бесконечного сигнала, домноженного на прямоугольную функцию, равную единице на данном интервале и нулю вне данного интервала (рис. 1). Подобный процесс принято называть взвешиванием, а функцию, на которую сигнал домножают, — взвешивающей функцией или окном.

Применение окна анализа во временной области соответствует в спектральной области свертке спектра сигнала со спектром окна анализа. В спектре каждой оконной функции принято различать главный спектральный лепесток и боковые. На рис. 2 показан спектр прямоугольного окна. В результате свертки боковые лепестки спектра окна вносят вклад в значение каждого отсчета результирующего спектра, искажая истинный спектр. Данное явление получило название просачивания. На рис. 3 показан спектр синусоидального сигнала взвешенного прямоугольным окном (частота синусоиды 100 Гц).

Рисунок 1 - Процесс взвешивания а) исходный сигнал; б) функция окна;
в) взвешенный сигнал

Рисунок 2 - Спектр прямоугольного окна. (t-ширина окна)

Вместо ожидаемой единственной спектральной составляющей на частоте синусоиды получаем широкий лепесток, обусловленный влиянием боковых лепестков спектра прямоугольного окна. Просачивание приводит не только к появлению амплитудных ошибок в спектрах дискретных сигналов, но может также маскировать присутствие слабых сигналов на фоне сильных и, следовательно, препятствовать их обнаружению.

Минимизировать эффект просачивания можно выбрав окно с меньшей амплитудой боковых лепестков. Предложено [1] ряд функций окна, применение которых позволяет снизить уровень боковых лепестков по сравнению с тем их уровнем, который они имеют в случае прямоугольного окна. Однако минимизация просачивания дается ценой расширения главного лепестка спектра окна, что приводит к ухудшению разрешения. На рис. 4 приведен спектр синусоидального сигнала с частотой 100 Гц, взвешенного окном Натолла. Как и ожидалось, спектр состоит из единственной компоненты. Следовательно, должен выбираться какой-то компромисс между шириной главного лепестка и уровнем подавления боковых лепестков.

Рисунок 3 - Спектр синусоидального сигнала, взвешенного прямоугольным окном.

Рисунок 4 - Спектр синусоидального сигнала, взвешенного окном Натолла

Для классификации функций окна используется несколько показателей оценки их качества:

1. Ширина главного лепестка позволяет судить о частотном разрешении. Для количественной оценки ширины главного лепестка используются 2 показателя. Во-первых, ширина главного лепестка может быть измерена в диапазоне частот от 0Гц до первого локального минимума. Во-вторых, для оценки используют эквивалентную ширину главного лепестка, которую определяют как отношение ширины главного лепестка данного импульса к ширине главного лепестка эталонного импульса. В качестве эталонного импульса часто берут прямоугольное окно.

2. Два показателя используются для оценки характеристик боковых лепестков. Один из них — это пиковый (или максимальный) уровень боковых лепестков, который позволяет судить о том, насколько хорошо окно подавляет просачивание. Второй — это скорость спада уровня боковых лепестков, который характеризует скорость, с которой снижается уровень боковых лепестков, ближайших к главному. Скорость спада боковых лепестков принято выражать в децибелах на октаву.

Ниже даны определения некоторых дискретно-временных функций окна из числа предложенных в разное время для использования при спектральном оценивании.

1) Окно Ханна

(4)

2) Окно Хемминга

(5)

3) Окно Натолла

(6)

Таблица 1 - Сравнительные характеристики временных окон

	Прямоуголь-ное	Хемминга	Ханна	Натолла
Максимальный уровень боковых лепестков, дБ	-13.3	-43	-31.5	-98
Асимптотическая скорость спада боковых лепестков, дБ/окт	-6	-6	-6	-18
Эквивалентная ширина полосы	1.0	2.0	2.0	4.8

Из всех приведенных в таблице окон самый узкий главный лепесток имеет частотная характеристика прямоугольного окна, но зато у него и самый высокий уровень боковых лепестков. Множители в выражениях для окна Хемминга были выбраны так, чтобы практически полностью устранить максимальный боковой лепесток.

Стратегия выбора окна диктуется компромиссом между разрешающей способностью спектра и искажением из-за влияния боковых лепестков.

Если же имеется одна сильная компонента, удаленная от слабой компоненты сигнала, то следует выбирать окно с быстро спадающим уровнем боковых лепестков, причем их уровень в непосредственной близости к главному лепестку в данном случае не имеет большого значения.

В том случае, когда необходимо обеспечить высокое разрешение между очень близкими компонентами сигнала и удаленные компоненты отсутствуют, вполне приемлемым может оказаться окно даже с увеличивающимся уровнем боковых лепестков, но зато с очень узким главным лепестком.

4. Спектр синусоидального сигнала

В программе SIGNAL формируем синусоидальный сигнал с параметрами:

- частота опроса 10кГц;

- длительность сигнала 100мс (1000отсчетов);

- амплитуда сигнала 100 уровней квантования;

- частота синусоиды 1кГц.

Рисунок 5 – сформированный синусоидальный сигнал

Выбираем команду «Спектр ДПФ» с размерностью 1000 отсчетов. Выбираем окно Хэмминга.

Рисунок 6 – Действительная часть спектра, мнимая часть спектра, спектр амплитуд.

5. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

В программе SIGNAL формируем периодическую последовательность прямоугольных импульсов со следующими параметрами:

- частота опроса 10 кГц;

- длительность сигнала 100 мс (1000 отсчетов);

- амплитуда сигнала 100 уровней квантования;

- частота повторения импульсов 100 Гц.

Рисунок 7 – Сгенерированная последовательность прямоугольных импульсов

Вычислите спектр сигнала как в п. 4. Выбираем команду «Спектр ДПФ» с размерностью 1000 отсчетов. Выбираем окно Хэмминга.

Рисунок 8 - Действительная часть спектра, мнимая часть спектра, спектр амплитуд.

Таблица 2 – Параметры гармоник

Амплитуда гармоники, Уровней квантования	Частота гармоники, Гц

6. Обратное дискретное преобразование Фурье

В программе SIGNAL очищаем активное окно. В меню “ОБРАБОТКА” выбираем команду “Обратное ДПФ”. Вводим имя файла, сформированного в результате ДПФ в п. 5.

Рисунок 9 – Обратное дискретное преобразование

Изменение восстановленного сигнала относительно исходного сигнала связано с тем, что был найден спектр сигнала, взвешенного окном Хемминга, и в результате обратного преобразования Фурье получен не исходный, а взвешенный сигнал.

7. Исследование спектров временных окон

Формируем функцию прямоугольного временного окна.

Параметры окна: F_оп=10 кГц; длительность сигнала 1000 отсчетов; длительность окна 40 отсчетов.

Рисунок 10 – Сформированная функция прямоугольного окна

Вычисляем спектр (см. п. 4). При вычислении спектра выбираем окно Хемминга.

Рисунок 11 – Спектр функции прямоугольного окна

Формируем функцию временного окна Хэмминга.

Параметры окна: F_оп=10 кГц; длительность сигнала 1000 отсчетов; длительность окна 40 отсчетов.

Рисунок 12 – Сформированная функция окна Хэмминга

Вычисляем спектр (см. п. 4). При вычислении спектра выбираем окно Хемминга.

Рисунок 13 – Спектр функции окна Хэмминга

Формируем функцию временного окна Ханна.

Параметры окна: F_оп=10 кГц; длительность сигнала 1000 отсчетов; длительность окна 40 отсчетов.

Рисунок 14 – Сформированная функция окна Ханна

Вычисляем спектр (см. п. 4). При вычислении спектра выбираем окно Хемминга.

Рисунок 15 – Спектр функции окна Ханна

Формируем функцию временного окна Натолла.

Параметры окна: F_оп=10 кГц; длительность сигнала 1000 отсчетов; длительность окна 40 отсчетов.

Рисунок 16 – Сформированная функция окна Натолла

Вычисляем спектр (см. п. 4). При вычислении спектра выбираем окно Хемминга.

Рисунок 17 – Спектр функции окна Натолла

Таблица 3 - Спектральные характеристики временных окон

Тип временного окна	Эквивалентная ширина главного лепестка	Максимальный уровень боковых лепестков, дБ	Соотношение неопределенности,
прямоугольное		92-78=13	40*250=1000
Хэмминга		86-44=42	40*500=2000
Ханна		86-54=32	40*500=2000
Натолла		83-7=76	40*1200=4800

Вывод: В ходе выполнения лабораторной работы я овладела некоторыми навыками работы с цифровыми сигналами. Научилась формировать синусоидальный сигнал, периодическую последовательность прямоугольных импульсов и находить спектр амплитуд, действительную и мнимую части спектра этих сигналов. Так же к периодической последовательности прямоугольных импульсов было применено обратное дискретное преобразование Фурье, в результате которого восстановленный сигнал относительно исходного изменен, ввиду того, что был найден спектр сигнала, взвешенного окном Хемминга, и в результате обратного преобразования Фурье получен не исходный, а взвешенный сигнал. Так же проведено исследование временных окон, в результате которого были измерены основные параметры спектров прямоугольного окна, окна Хемминга, окна Ханна и окна Натолла, измерен максимальный уровень боковых лепестков и ширина главного лепестка всех окон относительно ширины главного лепестка прямоугольного окна.

3.4. Пример выполнения лабораторной работы

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Ижевский Государственный Технический университет

Кафедра «Вычислительная техника»

Отчет

по лабораторной работе №3

по дисциплине Теория цифровой обработки сигналов

на тему «Дискретные линейные системы с постоянными параметрами»

Выполнила: студент гр. 8-78-1

Самарова М. В.

Короткова Ю.А.

Проверил: Гитлин В. Б.

Ижевск, 2012

Цель работы: Овладеть навыком работы с цифровыми сигналами. Исследовать АЧХ фильтра нижних частот Баттерворта, исследовать АЧХ полосового фильтра Баттерворта, исследовать АЧХ цифрового фильтра