Приложение 1. (координатная ось z совпадает с перпендикуляром к поверхности раздела сред )

МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ЗАВИСИМОСТЕЙ НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ ОТ КООРДИНАТЫ Z ПРИ НОРМАЛЬНОМ И НАКЛОННОМ ПАДЕНИИ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД

(координатная ось z совпадает с перпендикуляром к поверхности раздела сред)

2.1.1. НОРМАЛЬНОЕ ПАДЕНИЕ

Рассмотрим на конкретном примере методику построения графиков для случая нормального падения волны на границу раздела двух сред (. Пусть при этом выражения для мгновенных значений напряженности электрического поля падающей, отраженной и преломленной волн соответственно имеют вид:

Построение графиков осуществим для момента времени и определим вначале напряженность электрического поля падающей, отраженной и преломленной волн на границе раздела (z=0):

Для построения графиков найдем точки на оси z, которым соответствуют узлы (нули) поля. Для падающей и отраженной волн эти точки будут лежать в области отрицательных значений z, для прошедшей волны - в области положительных значений z.

Рассматривая падающую волну, запишем условие равенства нулю функции

или

где n = 0,

Для получения результатов, отвечающих смыслу задачи, следует использовать положительные значения числа n.

При n = 0,1,2,… имеем:

Примечание 1: для нахождения сечений максимумов нужно помнить, что для синусоиды они находятся посередине между двумя узлами, а для более точного её построения необходимо найти амплитуду поля хотя бы ещё в одной точке между каждым узлом и максимумом.

Узловые точки для отраженной волны определим из уравнения

или

Используя в данном случае отрицательные значения n, получаем:

Для преломленной (прошедшей) волны узловые точки найдем из условия

или

Используя отрицательные значения n, имеем:

Вид графиков, соответствующих приведенному примеру, показан на рис. 2.3.

Наличие падающей и отраженной волн в первой среде приводит к их интерференции, что проявляется в изменении амплитуды поля в зависимости от координаты распространения. Амплитуда результи-рующего электрического поля в первой среде описывается выражением

Рис. 2.3

, где

-фаза коэффициента отражения.

Наибольшее значение амплитуды Е_max будет в тех точках пространства первой среды, в которых Координаты z этих точек можно найти, положив

или Очевидно,

Наименьшее значение амплитуды Е_min будет в тех точках пространства, в которых Координаты z этих точек можно найти, положив

или Очевидно,

При этом для получения результатов, отвечающих смыслу решаемой задачи, в вышеприведенных формулах для и следует выбирать подходящие знаки чисел n.

Если коэффициент отражения Г>0 (падающая и отраженная волны совпадают по фазе (синфазны)), то на границе раздела сред (z=0) амплитуда напряженности поля в

первой среде

Если же Г<0, то при z=0

Примечание 2: величина модуля коэффициента отражения и его знак определяются в общем случае по соотношениям для Г_Г и Г_В, приведенных выше в справочных материалах.

На основании вышеизложенного можно построить зависимость амплитуды напряженности результирующего электрического поля в первой среде от координаты z, учитывая, что модуль коэффициента отражения для рассматриваемого примера равен

При интерференции падающей и отраженной волн максимальная амплитуда колебаний в первой среде будет равна

а минимальная

Так как в данном случае Г>0, то в начале координат амплитуда напряженности

результирующего электрического поля в первой среде будет максимальна и равна амплитуде напряженности электрического поля во второй среде (рис. 2.4), поскольку

То есть, во второй среде из-за отсутствия интерференции имеет место режим бегущих волн, при котором амплитуда поля вдоль координаты z остается неизменной.

Рис. 2.4

2.1.2. НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ

В этом случае целесообразно выразить координаты и (рис. 2.5) с помощью формул преобразования координат при повороте осей через координаты «y» и «z».

При этом выражения для комплексных амплитуд падающей, отраженной и преломленной волн можно представить в виде:

Рис. 2.5

где

- соответственно постоянные распространения для первой и второй сред.

Для сред без потерь , тогда при y = 0 имеем

При этом выражения для мгновенных значений напряженности электрического поля падающей, отраженной и преломленной волн соответственно будут иметь следующий вид (при равенстве нулю начальной фазы падающей волны):

где -соответственно фазы коэффициентов отражения и преломления.

Используя полученные соотношения, можно для заданного варианта наклонного падения плоской волны на границу раздела двух сред без потерь и фиксированного момента времени построить графики зависимости напряженности электрического поля от координаты z (согласно методике, показанной в п. 2.1.1 настоящего приложения).

Примечание 3: Очевидно, нетрудно получить аналогичные выражения для мгновенных значений напряженности магнитного поля и построить соответствующие графики.

Приложение 2