Определённые формы

Определение 7.1. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого ненулевого вектора выполняется неравенство

.

Определение 7.2. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределённой, если для любого вектора выполняется неравенство

,

но существует ненулевой вектор , для которого

.

Можно показать, что если билинейная форма является полярной положительно определённой квадратичной форме , то удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве. Таким образом, аксиомы скалярного произведения можно рассматривать как совокупность условий, определяющих такую билинейную форму.

Пусть квадратичная форма задана в -мерном линейном пространстве .

Теорема 7.1. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы положительный индекс инерции был равен размерности пространства .

Доказательство необходимости. Пусть форма является положительно определённой. Тогда для любого ненулевого вектора

(7.1)

выражение (6.8) примет вид:

. (7.2)

Допустим, что . Тогда из равенства (7.2) следует, что для любого вектора (7.1) с координатами

(7.3)

форма обращается в нуль. Но это противоречит определению 7.1. Следовательно .

Доказательство достаточности. Пусть . Тогда соотношение (6.8) имеет вид

.