Пример решение СЛАУ методом Якоби

Пример 3.2.

Найти решение СЛАУ(3.3) методом Якоби.

(3.3)

Прежде всего, убеждаемся, что итерационный метод Якоби можно использовать для заданной системы(3.3), т.к. выполняется условие «преобладания диагональных коэффициентов» матрицы системы, что обеспечивает сходимость метода, т.е.

(3.4)

Приведите систему(3.3) к нормальному виду:

, (3.5)

или в матричной форме

,

где

,

Расчетная схема метода Якоби приведена на рис (3.4).

На практике итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими.

Критерий близости двух приближений может быть определен следующим образом:

· Рассмотрим вектор разности двух соседних итераций ;

· Если норма этого вектора удовлетворяет условию

(3.6)

или

то итерационный процесс прекращается и за приближенное решение системы (3.3) с заданной точностью e принимается k -ое приближение, т.е.

(3.7)

Для проверки выполнения условия (3.6) используйте «условное форматирование» (рис.3.4)

Если условие (3.6) не выполнено, то итерационный процесс необходимо продолжить.

Рис.3.4. Расчетная схема метода Якоби

Анализируя результаты, принимаем за приближенное решение исходной системы с точностью e=0,1 четвертую итерацию,

т.е. х₁ =1,0216; х₂ = 2,0225, х₃ = 0,9912

Изменяя значение e в ячейке Н5 можно получить новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

Проанализируйте сходимость итерационного процесса, построив графики (рис.3.5) изменения каждой компоненты вектора решения СЛАУ в зависимости от номера итерации.

Рис. 3.5. Иллюстрация сходимости итерационного процесса

Иллюстрация расходящегося процесса представлена на рис.3.6.

Рис. 3.6. Иллюстрация расходящегося итерационного процесса