Недостаточность рациональных чисел

Гипотенуза такого треугольника не выражается никаким рациональным числом

В геометрии следствием так называемой аксиомы Архимеда (в более общем понимании, чем упомянуто выше) является возможность построения сколь угодно малых (то есть, коротких) величин, выражаемых рациональными числами вида . Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрические расстояния. Легко показать, что это не верно.

Из теоремы Пифагора известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника выражается как квадратный корень суммы квадратов его катетов. Т. о. длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным катетом равна , т. е. числу, квадрат которого равен 2.

Если допустить, что число представляется некоторым рациональным числом, то найдётся такое целое число и такое натуральное число , что , причём дробь несократима, т. е. числа и — взаимно простые.

Если , то , т. е. . Следовательно, число чётно, но произведение двух нечётных чисел нечётно, что означает, что само число также чётно. А значит найдётся натуральное число , такое что число можно представить в виде . Квадрат числа в этом смысле , но с другой стороны , значит , или . Как уже показано ранее для числа , это значит, что число — чётно, как и . Но тогда они не являются взаимно простыми, так как оба делятся пополам. Полученное противоречие доказывает, что не есть рациональное число.

Из вышесказанного следует, что существуют отрезки на плоскости, а, значит, и на числовой прямой, которые не могут быть измерены рациональными числами. Это приводит к возможности расширения понятия рациональных чисел до вещественных.