Тема: Прості відсотки

Лабораторна робота №1

§1. Теоретичні відомості.   Прості відсотки – це метод розрахунку прибутку кредитора від надання грошей у борг позичальнику, який застосовується, якщо термін позички менше року. Основна пропорція простих відсотків має вигляд:

§1. Теоретические сведения.   Простые проценты – это метод расчета дохода кредитора от предоставления денег в долг заемщику, который применяется, если срок ссуды меньше года. Основная пропорция простых процентов имеет вид:

або , (1)

де К – капітал (позика), за використання якого позичальник виплачує визначений відсоток; I – процентний платіж (прибуток), одержуваний кредитором від позичальника за користування грошовою позичкою, тобто "ціна боргу" для позичальника або просто відсоток; р – процентна ставка, що показує, скільки грошових одиниць повинний заплатити позичальник за користування 100 одиниць капіталу у визначеному періоді часу (за рік); q – час, виражений у роках. Сутність простих відсотків: вони нараховуються на ту саму величину капіталу протягом усього терміна позички. Якщо необхідно визначити, який процентний платіж заплатить позичальник кредитору за користування капіталом К при відомій процентній ставці р %, то з формули (1) знаходимо І

где К – капитал (заем), за использование которого заемщик выплачивает определенный процент; I – процентный платеж (доход), получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой, т.е. "цена долга" для заемщика или просто процент; р – процентная ставка, показывающая, сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование 100 ед. капитала в определенном периоде времени (за год); q – время, выраженное в годах. Сущность простых процентов: они начисляются на одну и ту же величину капитала в течение всего срока ссуды. Если необходимо определить какой процентный платеж заплатит заемщик кредитору за пользование капиталом К при известной процентной ставке р %, то из формулы (1) находим І

. (2)

З формули (2) можна визначити місячний процентний платіж

Из формулы (2) можно определить одномесячный процентный платеж

(3)

Для визначення одноденного процентного платежу в практиці зустрічається два випадки, коли величина року приймається за 360 днів і за 365 днів, тобто:

Для определения однодневного процентного платежа в практике встречается два случая, когда величина года принимается за 360 дней и за 365 дней, то есть:

або . (4)

База виміру часу. У світовій практиці існує 3 способи виміру часу: 1) рік умовно приймається за 360 днів, а місяць – 30 днів. Позначається: (30, 360) – використовується в Німеччині, Данії, Швеції; 2) враховується точне число днів, на які видана позичка і вважається, що в році 360 днів: (К, 360) – спосіб застосовується у Франції, Бельгії, Іспанії, Швейцарії, Югославії; 3) враховується точне число днів, на які видана позичка, але в році вважається 365 днів: (К, 365) – спосіб поширений у Португалії, Англії, США та ін. країнах. При визначенні числа днів позички за календарем перший день не враховується, а останній – враховується. У світовій практиці використовується поняття "процентне число" і "процентний ключ" – дівізор, тобто формулу (4) можна представити у вигляді:

База измерения времени. В мировой практике существует 3 способа измерения времени: 1) год условно принимается за 360 дней, а месяц – 30 дней. Обозначается: (30, 360) – используется в Германии, Дании, Швеции; 2) учитывается точное число дней, на которые выдана ссуда и считается, что в году 360 дней: (К, 360) – способ применяется во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии, Югославии; 3) учитывается точное число дней, на которые выдана ссуда, но в году считается 365 дней: (К, 365) – способ распространен в Португалии, Англии, США и др. странах. При определении числа дней ссуды по календарю первый день не учитывается, а последний – учитывается. В мировой практике используется понятие "процентное число" и "процентный ключ" – дивизор, т.е. формулу (4) можно представить в виде:

або (5)

де Kd – процентне число; D – процентний ключ або дівізор. Приклад №1. Капітал у 1000 грош. од. вкладений у банк на 6 місяців при 6% річних. Знайти величину капіталу, яка буде отримана через 6 місяців. Розв’язання. Використовуючи формулу (3) для одного місяця і помножуючи на 6 місяців, одержимо:

где Kd – процентное число; D – процентный ключ или дивизор. Пример №1. Капитал в 1000 ден. ед. вложен в банк на 6 месяцев при 6% годовых. Найти величину капитала, которая будет получена через 6 месяцев. Решение. Используя формулу (3) для одного месяца и умножая на 6 месяцев, получим:

(грош. од.).

Тоді весь капітал через 6 місяців буде складати:

Тогда весь капитал через 6 месяцев составит:

(грош. од.).

Відповідь: грош. од.   Приклад №2. Між двома капіталами – різниця 300 грош. од. Капітал більшого розміру вкладений на 6 місяців при ставці 5%, а капітал меншого розміру – на 3 місяці при ставці 6% річних. Процентний платіж за перший капітал дорівнює подвійному процентному платежу за другий капітал. Знайти величину капіталів. Розв’язання. Нехай більший капітал К 1= К, другий капітал К 2= К –300. За умовою I 1=2 I 2. Використовуючи формулу (3), складемо співвідношення

Ответ: ден. ед.   Пример №2. Между двумя капиталами – разница 300 ден. ед. Капитал большего размера вложен на 6 месяцев при ставке 5%, а капитал меньшего размера – на 3 месяца при ставке 6% годовых. Процентный платеж за первый капитал равен двойному процентному платежу за второй капитал. Найти величину капиталов. Решение. Пусть большой капитал К 1= К, второй капитал К 2= К –300. По условию I 1=2 I 2. Используя формулу (3), составим соотношение

.

Розв’язуючи рівняння щодо К, одержимо

Решая уравнение относительно К, получим

і а

Відповідь: .   §2. Споживчий кредит.   Процентний платіж за користування кредитом обчислюється "уперед": для першого місяця процентний платіж розраховується на всю величину боргу, а в кожний наступний місяць – на залишок боргу, тобто на величину боргу, зменшену на вже виплачену частину. Нехай величина наданого кредиту К, число однакових місячних виплат основного боргу " m ", річна процентна ставка р %. Виплата боргу у кожному місяці обчислюється за формулою

Ответ: .   §2. Потребительский кредит.   Процентный платеж за пользование кредитом вычисляется "вперед": для первого месяца процентный платеж рассчитывается на всю величину долга, а в каждый следующий месяц – на остаток долга, т.е. на величину долга, уменьшенную на уже выплаченную часть. Пусть величина предоставленного кредита К, число одинаковых месячных выплат основного долга " m ", годовая процентная ставка р %. Выплата долга в каждом месяце вычисляется по формуле

.

Тоді процентний платіж у першому місяці буде складати:

Тогда процентный платеж в первом месяце составит:

,

у другому місяці:

во втором месяце:

,

у третьому місяці:

в третьем месяце:

і т.п., а

в останньому місяці:

в последнем месяце

.

Таким чином, загальна сума виплат за користування наданим кредитом буде:

Таким образом, общая сумма выплат за пользованием предоставленным кредитом будет:

. (6)

Приклад №3. Величина наданого кредиту – 3000 грн. Процентна ставка – 9% річних, термін погашення – 6 місяців. Скласти план погашення кредиту (амортизаційний план). Розв’язання. Визначимо місячну виплату боргу, вважаючи, що кожний місяць виплачується однакова сума:

Пример №3. Величина предоставленного кредита – 3000 грн. Процентная ставка – 9% годовых, срок погашения – 6 месяцев. Составить план погашения кредита (амортизационный план). Решение. Определим месячную выплату долга, полагая, что каждый месяц выплачивается одинаковая сумма:

грн.

Знаходимо процентні платежі для кожного місяця:

Находим процентные платежи для каждого месяца:

грн;

грн;

грн;

грн;

грн;

грн.

Складемо амортизаційний план у вигляді таблиці

Составим амортизационный план в виде таблицы

Місяць	Борг, що залишився	Процентний платіж	Виплата боргу	Місячний внесок
		22,50		522,50
		18,75		518,75
		15,00		515,00
		11,25		511,25
		7,50		507,50
		3,75		503,75

Загальна величина процентних платежів за користування кредитом буде складати:

Общая величина процентных платежей за пользование кредитом составит:

(грн).

Знаючи загальну суму процентного платежу за 6 місяців, можна щомісяця виплачувати однакову суму грошей:

Зная общую сумму процентного платежа за 6 месяцев, можно ежемесячно выплачивать одинаковую сумму денег:

(грн.).

§3. Дисконтування векселів.   Вексель – (нім. wechsel – зміна, розмін) – боргове зобов’язання, що виникло на основі комерційного кредиту про виплату певній особі (пред’явнику векселя) визначеної суми у визначений строк. Дисконтування векселя: купівля у власника до настання терміна оплати векселя за ціною, менше тієї суми, що повинна бути виплачена по ньому наприкінці терміна, іншими словами – це форма кредитування банком векселетримача шляхом дострокової виплати йому позначеної у векселі суми за мінусом визначених відсотків. Ця операція називається обліком векселів. Сума, що покупець виплачує векселетримачу при достроковому дисконті векселя, називається дисконтованою величиною векселя, при чому вона нижче номінальної суми векселя на процентний платіж, обчислений із дня дисконтування до дня погашення векселя. Цей процентний платіж називається дисконтом. Якщо відома номінальна вартість векселя, то дисконт можна обчислити за формулою (5), тобто

§3. Дисконтирование векселей.   Вексель – (нем. wechsel – изменение, размен) – долговое обязательство, которое возникло на основе коммерческого кредита о выплате определенному лицу (предъявителю векселя) определенной суммы в определенный срок. Дисконтирование векселя: покупка у владельца до наступления срока оплаты векселя по цене, меньше той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, другими словами – это форма кредитования банком векселедержателя путем досрочной выплаты ему обозначенной в векселе суммы за минусом определенных процентов. Эта операция называется учетом векселей. Сумма, которую покупатель выплачивает векселедержателю при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя, при этом она ниже номинальной суммы векселя на процентный платеж, вычисленный со дня дисконтирования до дня погашения векселя. Этот процентный платеж называется дисконтом. Если известна номинальная стоимость векселя, то дисконт можно вычислить по формуле (5), то есть

, (7)

де Kn – номінальна величина векселя, що містить суму кредиту і процентний платіж, розрахований на весь період кредитування; d – число днів від моменту дисконтування до дати погашення векселя; D – процентний ключ або дівізор. Дисконтована величина векселя обчислюється так:

где Kn – номинальная величина векселя, содержащая сумму кредита и процентный платеж, рассчитанный на вест период кредитования; d – число дней от момента дисконтирования до даты погашения векселя, D – процентный ключ или дивизор. Дисконтированная величина векселя вычисляется так:

. (8)

Якщо відома дисконтована величина векселя, то процентний платіж визначається так:

Если известна дисконтированная величина векселя, то процентный платеж определяется так:

. (9)

Номінальна вартість векселя в цьому випадку буде:

Номинальная стоимость векселя в этом случае будет:

. (10)

Приклад №4. Вексель номінальною вартістю 30000 грош. од. з терміном погашення 6.09.97 врахований 6.06.97 при 6% річних. Знайти дисконтовану величину векселя для Франції. Розв’язання. За формулою (7) визначимо дисконт

Пример №4. Вексель номинальной стоимостью 30000 ден. ед. со сроком погашения 6.09.97 учтен 6.06.97 при 6% годовых. Найти дисконтированную величину векселя для Франции. Решение. По формуле (7) определим дисконт

(грош. од.),

де 92 – кількість днів від 6.06.97 до 6.09.97. Тоді за формулою (8) дисконтована величина буде складати грош. од. Відповідь: (грош. од.).   Приклад №5. 10.04 врахований вексель терміном погашення 9.06.99. Обчислити номінальну вартість векселя, якщо процентна ставка дисконтування 6% річних, а боржник одержав 18.04 5940 грош. од. Розв’язання. Вексель врахований на 60 днів раніше терміна погашення. Знайдемо дисконт за зменшеною, тобто дисконтованою величиною векселя, за формулою (9):

где 92 – количество дней от 6.06.97 до 6.09.97. Тогда по формуле (8) дисконтированная величина составит (ден. ед.). Ответ: (ден. ед.).   Пример №5. 10.04 учтен вексель сроком погашения 9.06.99. Вычислить номинальную стоимость векселя, если процентная ставка дисконтирования 6% годовых, а должник получил 18.04 5940 ден. ед. Решение. Вексель учтен на 60 дней раньше срока погашения. Найдем дисконт по уменьшенной, т.е. дисконтированной величине векселя, по формуле (9):

(грош. од.).

Номінальна величина визначається як сума дисконтованої величини векселя і дисконту

Номинальная величина определяется как сумма дисконтированной величины векселя и дисконта

(грош. од.).

Відповідь: (грош. од.).   Приклад №6. В оплату послуг на суму 100000 грн виписано вексель на 6 місяців, по якому нараховується 6% річних. Яку суму векселедержатель отримає при врахуванні (дисконтуванні) векселя через два місяці, якщо ставка дисконтування 5% річних. Розв’язання. Спочатку розрахуємо суму, що була б отримана векселедержателем при погашенні векселя (це номінальна вартість векселя при нарахуванні 6% протягом 6 місяців), тобто

Ответ: (ден. ед.).   Пример №6. Для оплаты услуг на сумму 100000 грн выписан вексель на 6 месяцев под 6% годовых. Какую сумму векселедержатель получит при дисконтировании векселя через два месяца, если ставка дисконтирования 5% годовых? Решение. Сначала рассчитаем сумму, которая была б получена векселедержателем при погашении векселя (это номинальная стоимость векселя при расчете 6% на протяжении 6 месяцев), т.е.

грн.

Потім визначається сума, яку отримає покупець, що отримав вексель через два місяці, тобто знаходимо дисконтовану величину векселя

Потом определяется сумма, которую получит покупатель, купивший вексель через 2 месяца, т.е. находим дисконтированную величину векселя

грн

Відповідь: грн. Приклад №7. Для погашення боргу величини 100000 грош. од. з терміном погашення 18.04 позичальник виписав своєму кредитору векселя: один – на суму 10000 грош. од. терміном погашення 25.06. другий – на суму 20000 грош. од. терміном погашення 5.07 і два однакових векселі з термінами погашення 18.05 і 03.06. Знайти номінальну величину цих двох векселів при 6% річних. Розв’язання. Знайдемо величину дисконту для перших двох векселів:

Ответ: грн.   Пример №7. Для погашения долга величиной 100000 ден. ед. со сроком погашения 18.04 заемщик выписал своему кредитору векселя: один – на сумму 10000 ден. ед. сроком погашения 25.06. второй – на сумму 20000 ден. ед. сроком погашения 5.07 и два одинаковых векселя со сроками погашения 18.05 и 03.06. Найти номинальную величину этих двух векселей при 6% годовых. Решение. Найдем величину дисконта для первых двух векселей:

(грош. од.), (грош. од.).

Дисконтована величина цих двох векселів буде складати:

Дисконтированная величина этих двух векселей составит

(грош. од.).

Тоді дисконтована величина 3-го та 4-го векселів буде складати:

Тогда дисконтированная величина 3-го и 4-го векселей составит

(грош. од.).

Тому що 3-й і 4-й векселя однакові, то знайдемо середній термін погашення векселів:

Так как 3-й и 4-й векселя одинаковы, то найдем средний срок погашения векселей:

(грош. од.).

Середній дисконт цих векселів буде:

Средний дисконт этих векселей будет:

(грош. од.).

А номінальна вартість 3-го та 4-го векселів буде складати:

А номинальная стоимость 3-го и 4-го векселей составит

(грош. од.),

(грош. од.).

Відповідь: 35410,98 грош. од.   Приклад №8. 5.05 враховані наступні векселя: перший номінальною вартістю 40000 грош. од. і терміном погашення 18.06, другий із номінальною вартістю 20000 і терміном погашення 15.07. Яка номінальна вартість третього векселя з терміном погашення 03.08, якщо дисконтована величина усіх 3-х векселів при 6% річних складають 69320 грош. од.? Розв’язання. Знайдемо кількість днів до терміна погашення векселів: Дисконт по першому і другому векселях буде складати:

Ответ: 35410,98 ден. ед.   Пример №8. 5.05 учтены следующие векселя: первый номинальной стоимостью 40000 ден. ед. и сроком погашения 18.06, второй с номинальной стоимостью 20000 и сроком погашения 15.07. Какова номинальная стоимость третьего векселя со сроком погашения 03.08, если дисконтирования величина всех 3-х векселей при 6% годовых составляют 69320 ден. ед.? Решение. Найдем количество дней до срока погашения векселей: Дисконт по первому и второму векселях составит

(грош. од.),

а дисконтована величина 1-го та 2-го векселів буде:

а дисконтированная величина 1-го и 2-го векселей будет:

(грош. од.).

Визначимо дисконтовану величину 3-го векселя:

Определим дисконтированную величину 3-го векселя:

грош. од. (ден. ед).

Тоді дисконт 3-го векселя:

Тогда дисконт 3-го векселя:

(грош. од.).

Можна обчислити номінальну величину 3-го векселя

Можно вычислить номинальную величину 3-го векселя

(грош. од.).