Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными

(7)

Пусть ранг матрицы коэффициентов равен . Перепишем уравнения системы (7) в форме нуль-равенств

и полученную систему запишем в жорданову таблицу (таблица 4).

Таблица 4.

	1		…
			…
…	…	…	…	…
			…

Над таблицей 4 можно произвести лишь последовательных жордановых исключений. В результате получится, например, таблица 5.

Таблица 5.

	1		…			…
			…			…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…			…
			…			…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…			…

Система (7) совместна тогда и только тогда, когда для некоторой совокупности значений выполняются одновременно все равенства (7). Это возможно в том и только в том случае, если в таблице 5

=…= = .

Если хотя бы один из свободных членов ,…, отличен от нуля, то система (7) несовместна.

В случае совместности системы из таблицы 5 получаем общее решение системы (7):

(8)

При решении задач столбцы под переброшенными в верхнюю часть таблицы нулями (а такими столбцами являются разрешающие) опускают за ненадобностью.

Придавая в равенствах (8) переменным произвольные числовые значения , вычисляют соответствующие значения остальных неизвестных:

и тем самым получают частное решение системы (7). Таким путем можно найти бесконечное множество решений системы (7).

В частном случае, когда , через шагов жордановых исключений все переменные окажутся в левом заглавном столбце таблицы 5, а их место наверху таблицы займут нули, поэтому система (7) будет иметь единственное решение: .

Итак, для решения системы линейных уравнений ее надо записать в форме жордановой таблицы и проделать возможное число шагов жордановых исключений, вычеркивая после каждого шага разрешающий столбец и строки, если они целиком состоят из нулевых элементов. Если в ходе исключений появится строка, все элементы которой, кроме свободного члена, равны нулю, то данная система несовместна. В противном случае система совместна. При этом она имеет бесконечное множество решений, если в верхней заглавной строке последней жордановой таблицы останется хотя бы одна переменная, и единственное решение, если все переменные окажутся в левом заглавном столбце.

Пример 1. Найти решение системы:

Решение: Запишем систему в виде жордановой таблицы и сделаем два шага жордановых исключений (табл.6-8).

Таблица 6.

0=	-3	1 2 1 -6
0=		1 1 1 -4
0=		1 0 1 -2
Таблица 7.
0=	-3	-1 -1 2
x2 =		1 1 -4
0=		1 1 -2

Таблица 8.
0=		0 0
x2 =	-3	0 -2
x1 =		1 -2

При практическом решении задач столбцы под переброшенными наверх таблицы нулями (и такими столбцами являются разрешающие) опускают за ненадобностью.

Из таблицы 8 выпишем общее решение системы:

где х₃ и х₄ могут принимать любые значения.