Формулы для вычисления значений среднего и дисперсии по выборке

Найти оценку среднего времени выполнения комплекса работ, оценки дисперсии и среднего квадратичного отклонения (смещенные и несмещенные), а также вероятность того, что комплекс работ будет выполнен в срок не превышающий 18 единиц. Какой срок выполнения комплекса работ Вы рекомендовали бы указать в договоре организации, выполняющей этот комплекс работ.

Указание. Среднее значение удобно рассчитывать по формуле M=сумма(Ti*Ni)/N. Смещенная оценка дисперсии D=сумма(Ti*Ti*Ni)/N-M*M, несмещенная оценка дисперсии R=D*N/(N-1), а среднее квадратичное отклонение находится как корень из соответствующей оценки дисперсии.

Задание 3. Лабораторная работа. С помощью функции «Слчис» сформировать не менее 100 случайных чисел. Оценить (качественно) соответствует ли датчик требованиям, что генерируемые им случайные числа соответствуют равномерному распределению на (0,1). Для этого построить гистограмму, разбив интервал, например, на 10 равных подыинтервалов. Воспользоваться критериями Колмогорова и «ХИ-КВАДРАТ». К какому типу датчиков случайных чисел принадлежит процедура «Слчис»?

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Модель представляет собой абстрактное описание системы. Моделирование сложных экономических систем, особенно крупномасштабных, представляет собой более трудную задачу, чем моделирование физических систем. Это объясняется следующими причинами: 1)в распоряжении исследователя имеется мало функциональных законов, относящихся к рассматриваемой системе; 2)многие взаимосвязи между элементами в системе с трудом поддаются количественному описанию и формализации; 3)трудно количественно описать поведение во времени входных элементов; 4)важную роль играют стохастические (вероятностные) процессы; 5) неотъемлимой частью таких систем является процесс принятия решений человеком.

Уровень детализации при моделировании определяет сам исследователь. Он сам принимает решение о том, является ли данный элемент системы существенным, а следовательно, будет ли он включен в описание системы. Это решение принимается с учетом цели, лежащей в основе разработки модели. От того, насколько хорошо исследователь умеет выделять существенные элементы и взаимосвязи между элементами, зависит успех моделирования. На рис 2.1. приведена схема предлагаемого подхода к построению моделей.

С и с т е м а

Цель Уровень Границы

детали-

зации

Критерии Альтернативные

эффективности М О Д Е Л Ь решения

Оценка

Реализация

Система рассматривается как состоящая из множества взаимосвязанных элементов, объединенных для выполнения определенной функции. Определение системы во многом субъективно, т.е. оно зависит не только от цели разработки модели, но и от того, кто именно определяет систему.

Итак, процесс моделирования начинается с определения цели разработки модели, на основе которой затем устанавливаются границы системы и небходимый уровень детализации моделируемых процессов. Выбранный уровень детализации доложен позволять абстрагироваться от неточно определенных из-за недостатка информации аспектов функционирования реальной системы. В описание системы, кроме того, должны быть включены критерии эффективности функционирования системы и оцениваемые альтернативные решения, которые могут рассматриваться как часть модели или как ее входы. Оценки же альтернативных решений по заданным критериям эффективности рассматриваются как выходы модели. На практике процесс построения модели является итеративным. После того как на основе полученных оценок альтернатив могут быть выработаны рекомендации, можно приступать к внедрению результатов моделирования. При этом в рекомендациях должны быть четко сформулированы как основные решения, так и условия их реализации.

Имитационные модели

Описанный подход полностью применим к построению имитационных моделей. С помощью имитационного моделирования могут строиться как агрегированные, так и детализированные модели. Имитационному моделированию также свойственна концепция итеративного построения модели, в ходе которого модель изменяется путем добавления новых или исключения некоторых ее элементов и (или) взаимосвязей между ними. Имитационные модели часто разрабатываются для проведения исследований на ПК. Имитационная модель представляет собой логико-математическое описание системы, которое может быть исследовано в ходе проведения экспериментов на ПК и, следовательно, может считаться лабораторной версией системы. После окончания разработки имитационной модели с ней проводятся эксперименты, которые позволяют сделать выводы о поведении системы:

-без ее построения, если это проектируемая система;

-без вмешательства в ее функционирование, если это действующая система, экспериментирование с которой или слишком дорого, или небезопасно;

-без ее разрушения, если цель эксперимента состоит в определении пределов воздействия на систему.

Итак, имитационные модели могут использоваться для проектирования, анализа и оценки функционирования систем.

При имитационном моделировании ключевым моментом является выделение и описание состояний системы. Система характеризуется набором переменных, каждая комбинация значений которых описывает ее конкретное состояние. Следовательно, путем изменения значений переменных можно имитировать переход системы из одного состояния в другое. Таким образом,

Имитационное моделирование - это представление динамического поведения системы посредством продвижения ее от одного состояния к другому в соответствии с определенными операционными правилами.

Изменения состояния системы могут происходить либо непрерывно, либо в дискретные промежутки времени. Хотя процедура описания динамического поведения дискретно и непрерывно изменяющихся моделей различны, основная концепция имитации системы – отображение изменений ее состояния с течением времени – остается той же.

Генерация псевдослучайных чисел

В имитационных моделях необходимо получать случайные выборки из одного или нескольких распределений из числа описанных ранее или других видов.

Наиболее часто применяется на практике метод получения выборок случайных чисел из заданного распределения на основе генерирования реализаций случайной величины, равномерно распределенной на интервале между 0 и 1, и последующего преобразования сгенерированного числа. Таким образом, независимые случайные числа (т.е. реализации случайной величины), равномерно распределенные на интервале от 0 до 1, являются основой для генерации выборок всевозможных распределений. Далее остановимся на проблеме получения указанных случайных чисел, а затем обсудим процедуру их преобразования для получения реализаций случайной величины с произвольным законом распределения.

Способы получения случайных чисел.

1)Табличный метод. При этом в памяти ПК хранятся таблицы случайных чисел, и при необходимости использования следующего случайного числа из этой таблицы выбирается элемент таблицы. Недостаток: необходимо хранить таблицу, которая в случае большого объема исследований становится большой по размеру.

2)Физический датчик. Случайное число представляет, отклонение некоторой физической величины, например, напряжения в сети. Недостаток этого подхода состоит в невозможности повторного воспроизведения результатов имитации, а следовательно, невозможности осуществления верификации модели и направленного эксперимента с ее параметрами.

3)Генераторы псевдослучайных чисел. Основаны на применении рекурсивных формул, по которым на основании i-го случайного числа вычисляется (i+1)-е случайное число. Поскольку последовательность чисел вычисляется в уравнении детерминированно, то они, естественно, не являются случайными, поэтому их обычно называют псевдослучайными числами. Генераторы псевдослучайных чисел должны удовлетворять следующим требованиям:

а)числа должны быть равномерно распределены на интервале (0,1);

б)генерируется достаточное количество неповторяющихся чисел, т.е. период (цикл) генератора был довольно длинный;

в)последовательность чисел воспроизводима, то есть задав одинаковые начальные значения получим совпадающие последовательности чисел;

г)генератор должен быть быстродействующим, поскольку для моделирования обычно требуется большое количество случайных чисел;

д)желательно использовать небольшой объем памяти компьютера.

Часто используется метод, называемый конгруэнтным. Он использует следующее рекурсивное уравнение

, i=0,1,2,…

где значение корня, а является - ым псевдослучайным числом. Это уравнение определяет, что ненормированное число равно остатку от деления на , где - предыдущее ненормализованное число, начальное значение (корень), а константы метода. Выбор значений этих констант является предметом отдельных исследований.

В процессе имитации часто необходимо в одной модели работать с несколькими потоками случайных чисел. Например, раздельные потоки случайных чисел могут быть использованы в системе массового обслуживания для моделирования процессов прибытия и обслуживания заявок. Разработчику модели предоставляется возможность выбора различных значений корней генератора случайных чисел для параллельных случайных потоков.

Метод обратной функции.

Он предназначен для формирования реализации случайной с заданным законом распределения, если имеется датчик случайных чисел (равномерно распределенных на (0,1)). В основе этого метода лежит тот факт, что случайная величина , где - функция распределения моделируемой случайной величины, имеет равномерное распределение на (0,1). Рассмотрим графическую иллюстрацию метода

1

s

0

Пусть s – случайное число, равномерно распределенное на (0,1). Двигаясь по стрелкам на рисунке (это соответствует нахождению обратной функции ), находим реализацию случайной величины с функцией распределения . Далее сгенерировав другое случайное число, пусть это будет , с помощью датчика случайных чисел, аналогичным путем находим следующую реализацию случайной величины .

Проверить, что функция распределения для экспоненциально распределенной случайной величины имеет вид , где - параметр распределения. Привести алгоритм формирования методом обратной функции реализаций случайной величины с таким распределением, если имеется последовательность случайных чисел , полученных с использованием какого-либо датчика случайных чисел.

Привести алгоритм формирования реализаций случайной величины с функцией плотности:

1/3

0 1 4

при этом полагается, что имеется последовательность случайных чисел , полученных с использованием какого-либо датчика случайных чисел.

Метод обратной функции применим и в случае дискретных распределений. Пусть нам надо сымитировать бросание игральной кости. Тогда

Функция распределения вероятностей имеет вид

1

0,9

5/6

4/6

3/6

2/6

1/6

1 2 3 4 5 6

Пусть случайное число, полученное с помощью датчика случайных чисел, равно . Тогда полагаем, что в результате бросания кубика выпало:

1, если

2, если

3, если

4, если

5, если

6, если .

Например, если то полагаем, что выпало «6» (см. рисунок).

Метод получения характеристик системы с использованием формирования реализаций случайных величин иногда называют методом статистических испытаний (или методом Монте-Карло).

Формулы для вычисления значений среднего и дисперсии по выборке

Статистика	Точечные статистические оценки	Интервальные статисти- ческие оценки
Выборочное среднее
Дисперсия выборки

Под статистикой понимают некоторую функцию результатов экспериментов или моделирования. При построении оценок по данным выборки необходимо рассматривать два случая. В первом случае выборка содержит только значения самих наблюдений без учета моментов времени осуществления этих наблюдений. Примерами такой выборки могут служить данные о времени ожидания обслуживания посетителями. Статистики по независимой от времени выборке называются статистиками по наблюдениям или точечными статистиками.

Во втором случае значения случайных величин определены во времени. Например, число занятых кассиров в банке является случайной величиной, значение которое меняется во времени. При этом нас интересует информация о том, какие значения принимала наблюдаемая случайная величина и на каких интервалах времени. Статистики по зависимой от времени выборке называются временными или интервальными статистиками.

Задание. К чему стремятся при моделировании процесса: а) к минимизации математического ожидания оценок; б)к максимизации дисперсии оценок; в) к максимизации математического ожидания оценок; г) к минимизации дисперсии оценок?

Задание. С увеличением количества реализаций при имитационном моделировании, точность оценивания: а)уменьшается; б)увеличивается; в)не изменяется; г)может вести себя по-разному?