УПРАЖНЕНИЯ. 1. Проверить, что точки хi , i=0, .., n, удовлетворяющие формулам (3.37), являются вершинами некоторого правильного симплекса

1. Проверить, что точки х ⁱ, i= 0,.., n, удовлетворяющие формулам (3.37), являются вершинами некоторого правильного симплекса.

2. Выполнить несколько итераций решения задачи f (x)=(x ₁ + 1)² + x ²₂®min с помощью правильного симплекса, положить х⁰ = (5,3) и а = 1. Привести графическую иллюстрацию.

Указание: линии уровня целевой функции — окружности с центром в точке (-1, 0).

3. Как изменится процедура поиска точки минимума в упражнении 2 при использовании деформируемого симплекса? Дать графическую иллюстрацию (положить a = 0,5, b = 1 и g = 2).

4. Нарисовать линии уровня целевой функции из примера 3.6 и пояснить медленную сходимость метода циклического покоординатного спуска.

5. Можно ли в исследующем поиске алгоритма Хука — Дживса использовать направления р¹,.., р ⁿ, отличные от базисных векторов е¹,.., е ⁿ? Должны ли они быть линейно независимыми?

6. Выполнить четыре итерации решения задачи f (x)=(x ₁ + 1)² + x ²₂ ® min методом Хука — Дживса. Положить e = 1/2, D = (2,1), х⁰ = (3,4). Привести графическую иллюстрацию.

7. Из начальной точки х =(4,3) решить зaдaчу f (x)= 5 x ²₁ + 5 x ²₂ + 8 x ₁ x ₂ ® min методом сопряженных направлений.

Указание: для величины шага a _k использовать формулу (3.35).

8. Показать, что взаимно ортогональные собственные векторы симметрической положительно определенной матрицы A являются A -ортогональными.

9. Проверить, что векторы р¹ = (1, 2) и р² = (5, -1) А -ортогональны относительно матрицы А = . Найти минимум функции f (x)= 3 x ²₁ – 2 x ₁ x ₂ + 3 x ²₂ + x ₁ + 2 x ₂, выполняя наискорейший спуск последовательно по направлениям р¹ и р².