Задание на курсовую работу. 1.Дать содержательное описание объекта, проинтерпретировать исходные параметры и варьируемые параметры

1.Дать содержательное описание объекта, проинтерпретировать исходные параметры и варьируемые параметры.

2.Содержательно поставить оптимизационную задачу.

3.Построить общую математическую модель при условиях:

— все ограничения математической модели линейные,

— в модели присутствуют ограничения типа «больше или равно»,

— в модели присутствуют ограничения типа «меньше или равно»,

— в модели присутствуют ограничения типа «равно»,

— среди неизвестных присутствуют не ограниченные в знаке.

4.Поставить оптимизационную задачу, формализовав критерий оптимальности в виде линейного функционала.

5.При заданном числе переменных и ограничений предложить свои исходные данные.

6.При заданных исходных данных построить математическую модель и поставить оптимизационную задачу.

7.Решить на ПЭВМ поставленную задачу.

8.Привести задачу к каноническому виду и решить ее на ПЭВМ.

9.Проинтерптетировать полученные значения искусственных переменных.

10.Построить двойственную задачу. Решить ее на ПЭВМ.

11.Проинтерпретировать полученные значения двойственных переменных.

12.Написать отчет по курсовой работе.

Пример.

1.Содержательное описание объекта.

Предприятие выпускает продукцию нескольких наименований используя определенные количества ресурсов двух типов:

1 тип —складируемые ресурсы (срок годности превышает величину планируемого периода),

2 тип —нескладируемые ресурсы, которые либо используются полностью в планируемом периоде, либо, при их недостатке, дополнительно приобретаются, либо, при их избытке, реализуются.

Заданы величины ожидаемых доходов от производства каждого вида продукции; величина суммарного дохода, которым должно быть обеспечено производство; стоимость единицы каждого вида нескладируемого ресурса, предполагая, что эта стоимость одинакова и при его покупке и при его продаже.

2.Содержательная постановка задачи.

Найти план производства продуктов, обеспеченый ресурсами, выполнение которого принесет максимальную ожидаемую прибыль.

3.Общая математическая модель.

3.1.Исходные параметры модели. i=1,2,...,m —номера продуктов, j=1,2,...,n —номера складируемых ресурсов, k=1,2,...,s —номера нескладируемых ресурсов, b(j) —объем j‑го складируемого ресурса, имеющийся у предприятия, j=1,2,...,n,

d(k) —объем k‑го нескладируемого ресурса, имеющийся у предприятия, k=1,2,...,s,

R=(r(i,j)) —матрица ресурсоемкостей по складируемым ресурсам, где r(i,j) —количество ресурса j, необходимое для производства единицы i‑го вида продукции,i=1,2,...,m, j=1,2,...,n.

Q=(q(i,k)) —матрица ресурсоемкостей по нескладируемым ресурсам, где q(i,k) —количество ресурса k, необходимое для производства единицы i‑го вида продукции,i=1,2,...,m, k=1,2,...,s.

с(i) —величина ожидаемого дохода от производства единицы продукции i‑го вида, i=1,2,...,m.

G —величина минимального ожидаемого суммарного дохода, который предприятие должно получить в планируемом периоде за счет производства продукции,

p(k) —стоимость покупки или продажи единицы k‑го нескладируемого ресурса.

3.2.Варьируемые переменные.

x(i) —количество продукта с номером i, которое предприятие будет выпускать в планируемом периоде, i=1,2,...,m. y(k) —количество нескладируемого ресурса с номером k, которое предприятие будет дополнительно приобретать (тогда величина y(k) —отрицательная) или продавать (тогда величина y(k) —положительная).

3.3.Ограничения математической модели.

. j=1,2,...,n, (1)

(План производства должен быть обеспечен складируемыми ресурсами.)

, k=1,2,...,s, (2)

(План производства должен быть обеспечен нескладируемыми ресурсами и при этом нескладируемый ресурс должен быть полностью израсходован —либо за счет его использования в процессе производства, либо за счет продажи остатков.)

(3)

(Должна быть обеспечена величина минимального ожидаемого суммарного дохода, который предприятие получит в планируемом периоде за счет производства продукции.)

x(i) 0, i=1,2,...,m,

(4)

y(k) —не ограничены в знаке, k=1,2,...,s.

(Естественные условия на переменные.)

Исходные, варьируемые переменные и ограничения (1)-(4) представляют собой искомую математическую модель. В ней n ограничений типа»меньше или равно», s ограничений типа «равно», одно ограничение типа «больше или равно», m неотрицательных переменных и s переменных, не ограниченных в знаке.

4.Постановка оптимизационной задачи

max F(x,y)= max( с(i) x(i) + p(k) y(k)). (5)

(Общий суммарный ожидаемый доход от производства продукции и продажи остатков нескладируемых ресурсов (или покупки недостающих нескладируемых ресурсов) должен быть максимален.)

5.Конкретные значения исходных параметров задачи.

m=4 —количество различных продуктов, n=2 —количество складируемых ресурсов, s=1 —количество нескладируемых ресурсов, b(1)=35, b(2)=84 —объемы складируемых ресурсов, имеющихся у предприятия,

d(1)=38 —объем нескладируемого ресурса, имеющийся у предприятия,

5 6

R=(r(i,j))= 3 9 i=1,2,3,4 j=1,2

6 8

2 7

матрица ресурсоемкостей по складируемым ресурсам, где, например, элемент r(1,1)=5 —означает, что для производства единицы первого продукта необходимо 5 единиц складмруемого ресурса с номером 1.

Q=(q(i,k))= 3 i=1,2,3,4 k=1

матрица (вектор) ресурсоемкостей по нескладируемому ресурсу, с(1)=3, с(2)=5, с(3)=8, с(4)=12 —величины ожидаемых доходов от производства разных видов продукции,

G=50 —величина минимального ожидаемого суммарного дохода, который предприятие должно получить в планируемом периоде за счет производства продукции,

p(1)=6 —стоимость покупки или продажи единицы нескладируемого ресурса.

6.Математическая модель и постановка оптимизационной задачи.

Варьируемыми параметрами являются: x(1), x(2), x(3), x(4) —количества продуктов, которые будут выпущены в планируемом периоде, y количеств нескладируемого ресурса, которое будет приобретено (отрицательное значение переменной y) или продано (положительное значение переменной y).

Ограничения математической модели:

5x(1)+3x(2)+6x(3)+ 2x(4) 35, (6)

6x(1)+9x(2)+8x(3)+ 7x(4) 84, (7)

3x(1)+3x(2)+6x(3)+ 4x(4) + y = 38, (8)

3x(1)+5x(2)+8x(3)+12x(4) 50, (9)

x(1) 0, x(2) 0, x(3) 0, x(4) 0, (10)

переменная y - не ограничена в знаке. (11)

maxF(x,y)=max(3x(1)+5x(2)+8x(3)+12x(4)+6y). (12)

Здесь ограничения (6),(7) —ограничения на складируемые ресурсы, (8) —ограничение на нескладируемый ресурс, (9) —ограничение на ожидаемый доход от производства продуктов, (10),(11) —естественные ограничения на переменные, критерий (12) —максимизация суммарного дохода, который получит предприятие.

Пункт 7 выполняется на ПЭВМ.

8.Канонический вид задачи.

5x(1)+3x(2)+6x(3)+2x(4)+x(5) = 35, (13)

6x(1)+9x(2)+8x(3)+7x(4)+x(6) = 84, (14)

3x(1)+3x(2)+6x(3)+4x(4)+y(1)-y(2) = 38, (15)

3x(1)+5x(2)+8x(3)+12x(4)+x(7) = 50, (16)

x(1) 0, x(2) 0, x(3) 0, x(4) 0, (17)

x(5) 0, x(6) 0, x(7) 0, y(1) 0, y(2) 0.

maxF(x,y)=max(3x(1)+5x(2)+8x(3)+12x(4)+6y(1)-6y(2)). (18)

Здесь y=y(1)-y(2)

9.Проинтерпретировать полученные значения искусственных переменных.

После решения канонической задачи.

10.Построить двойственную задачу. Решить ее на ПЭВМ.

Двойственная задача имеет вид:

5z(1)+6z(2)+3z(3)+3z(4) 3

3z(1)+9z(2)+3z(3)+5z(4) 5

6z(1)+8z(2)+6z(3)+8z(4) 8

2z(1)+7z(2)+4z(3)+12z(4) 12

z(1) 0, z(2) 0, z(3) 6, -z(3) -6, z(4) 0.

minT(z)=min(35z(1)+84z(2)+38z(3)+50z(4))

11.Проинтерпретировать полученные значения двойственных переменных.

После решения задачи на ПЭВМ.