Математичне моделювання

При моделюванні спочатку будується математична модель процесу чи явища. Для побудови моделі потрібно:

1) Виділити основні фактори і записати рівняння процесу. Наприклад, моделювання траєкторії ракети ґрунтується на другому законі Ньютона. F_i=ma

При цьому важливо виділити ті сили, які суттєво впливають на рух тіла, тобто в залежності від постановки задачі ми повинні вирішити, чи нехтувати формою Землі, чи враховувати зміну маси досліджуваного об'єкту і т.д. Спочатку не завжди очевидно якими силами можна знехтувати і в першому наближенні побудова моделі ґрунтується на інтуїції. Широкі можливості ЕОМ дозволяють перевіряти велику кількість гіпотез, тому дослідник не витрачає значну частину часу на знаходження аналітичного розв'язку, а зосереджується на фізичній стороні розв’язку. Крім того, виникає можливість розв'язку не лише найпростіших типів рівнянь (звичайних диференціальних рівнянь, найпростіших диференціальних рівнянь з частинними похідними і т. ін.), а й складних нелінійних та нестаціонарних рівнянь, які описують більшість фізичних процесів.

2) Потрібно записати початкові, граничні та додаткові умови без яких неможливо розпочати обрахунок та виділити необхідний розв'язок. Наприклад, в моделі "хижак-жертва", що описується системою звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, потрібно задати початкові значення залежних змінних, а саме початкові кількості хижаків та жертв

3) Використати необхідний чисельний метод для розв'язку даної математичної моделі. Наприклад, для еволюційної моделі “хижак-жертва” - це може бути одна із схем розв’язку звичайних диференціальних рівнянь: Ейлера, Рунге-Кутта, тощо.

4) Представити розв'язок в зручному для аналізу вигляді. Це можуть бути графіки, гістограми, комп'ютерні ілюстрації, таблиці, тощо. Однією з проблем, які виникають, є апроксимація розв'язку задачі. Так як розв'язок знаходиться наближено і лише в деякій кількості точок по залежних змінних x та y з області дослідження, ми його повинні апроксимувати відповідною функціональною залежністю. Наприклад, в моделі "хижак-жертва" на фазовій площині в системі координат (X,Y) (Рис.1.1.) (де Y - кількість хижаків, X - кількість жертв) розв'язок представляє собою набір точок з координатами (X,Y).

Рис.1.1.

При необхідності знаходження проміжних значень сусідні точки можливо з'єднати відрізками, або іншими функціями (поліномами, сплайнами і т.д.) в залежності від необхідної точності наближення. Тут знову ж таки використовуються чисельні методи: інтерполяції чи екстраполяції (Ньютона, Лагранжа, сплайн, поліномами і т.д.). В результаті побудови моделі та її розв'язку неминуче виникають похибки, які поділяються на похибки чисельного розв'язку та похибки моделі.

Похибки моделі виникають при неврахуваннідеяких суттєвих факторів при її побудові. Крім аналізу похибок, що виникають, модель повинна бути обґрунтована.

Перевірка обґрунтування моделі відбувається в декілька етапів.

Перший - аналізується порядок величини яка досліджується, хід фізичного процесу. В разі виникнення принципових розбіжностей модель коригується.

Другий - більш тонка перевірка поведінки моделі в граничних випадках. Якщо співпадають аналітичні і чисельні розв'язки то модель побудована вірно. При цьому важливу роль відіграють тестові задачі, для яких відомий аналітичний розв'язок і відбувається його порівняння з чисельним розв'язком.

Третій - співпадання чисельного розв'язку з експериментом. Якщо кількісного, а ще гірше, якісного співпадання немає, то потрібно враховувати додаткові фактори або змінити алгоритм розв'язку.

Таким чином блок-схема розв’язку моделі має вигляд

1.3. Процес чисельного розв'язку

Якщо неможливо аналітично розв'язати математичну модель, то користуються чисельними методами.

1. При знаходженні чисельного розв’язку ми повинні враховувати, що комп'ютери оперують з скінченою кількістю знаків. Тому арифметичні операції, які використовуються на ЕОМ, обмежені кількістю розрядів (наприклад, 8,16,32 розрядів). Значить, p або еніколи не можна абсолютно точно описати в програмі При цьому точність обрахунку можна підвищити, використовуючи апаратне чи програмне подвоєння точності. В результаті виконання операцій (+, -, *, /) накопичуються похибки округлення (наприклад, 0,8132*0,6135=0,4988982, а при розрахунку на комп'ютері отримаємо 0,4988 або 0,4989). Якщо ж виконується мільйон операцій, то чи не буде похибка N раз впливати на точне значення величини?

2. Небезпека втрати знаку. Якщо два числа a і bвідрізняються в останньому знаці, то в різниці c=a-bбуде тільки одна значуща цифра, а в відповіді тільки один вірний знак. Тому аналітично коректний алгоритм розв'язку може бути чисельно нестійким і приводити до неправильного розв'язку.

3. Похибки дискретизації виникають тоді, коли замість неперервного розв'язку Y(x) на неперервному проміжку a < x < b розв'язок знаходиться в N точках по x. Наприклад, при дискретній апроксимації інтегралу за методом лівосторонніх прямокутників криволінійна трапеція замінюється сумою площ прямокутників, а похибка виникатиме за рахунок врахування заштрихованих площ (Рис. 1.2.).

x

Рис.1.2.

Виникнення похибки дискретизації пов’язано з тим, що ніяких обчислювальнихможливостей комп'ютера не вистачить для обрахунку значень функції f(x) в нескінченній кількості точок x. Для зменшення впливу похибки дискретизації необхідно проводити обчислення в якомога більшій кількості точок по x.

4. Похибки збіжності в ітераційному процесі. Основна ідея ітераційного процесу полягає в послідовному наближенні до точного розв'язку, виходячи з попереднього розв'язку. Так як може бути реалізована тільки скінчена кількість наближень, точного розв'язку важко досягти. Враховуючи вище назване, виникає проблема якісного програмування.

Критеріями такого програмування є:

1) Надійність - немає помилок і результати тестування співпадають з аналітичними розв'язками.

2) Працездатність - якщо використовуються дані, які не можуть привести до правильного розв’язку, то ЕОМ їх виявляє.

3) Переносність - з мінімальними зусиллями програма може бути перенесена на інший тип ЕОМ. При цьому потрібно обмежити використання апаратних засобів, напряму не використовувати особливості конкретних машин.

4) Підтримуваність - потрібна наявність документації по методах та програмах, допомоги користувача, сповіщень, які видаються в ході роботи програми.