Синтез принципових схем фільтрів

Остаточний етап синтезу фільтру полягає в побудові його електричної принципової схеми. Для цього може бути використаний підхід на основі так званого структурного синтезу, коли ланцюг з передавальною функцією K (p) утворюється шляхом послідовного (каскадного) включення деякого числа ланок з передавальними функціями Кi (р), i = 1 ,.m - число ланок (рис.5).

K m(p)

K 2(p)

K 1(p)

Вхід Вихід

Рис. 5. Послідовне з’єднання ланок.

Для структури на рис. 5, очевидно, має місце

(5.1)

і

(5.2)

Отже, передавальні функції Кi(р), i =1,.m повинні бути такими, щоб їх перемноження давало необхідну передавальну функцію K (p) або, іншими словами, щоб вони могли реалізувати полюси функції K (p), які були визначені раніше на етапі апроксимації.

З (4.9) і (5.1) витікає, що передавальна функція K (p)ФНЧ будь-якого порядку n може бути реалізована на основі ланок порядку не вище за другий. Якщо n є парним числом, то передавальну функцій (5.1) можна реалізувати за допомогою каскадного з'єднання m = n /2. фільтрів другого порядку, тобто відрекомендувати її у вигляді

(5.3)

де

для і = 1...(m -1) (5.4)

і

для i = m (5.5)

У (5.4), (5.5) z _{н 1}ⁱ і z _{н 2}ⁱ, i = 1… m є парами комплексно-зв'язаних полюсів відібрані зі всіх полюсів z_нi, i = 1… n в (4.9).

Якщо n - непарне число, то тоді m = 1 +(n -1)/2і для реалізації передавальноїфункції K (p) необхідно використовувати ланку першого порядку. В цьому випадку K (p) можна представити у вигляді

(5.6)

Ki (p), i = 2…m визначаються виразами аналогічними (5.4) і (5.5) а K ₁(p) - передавальна функція фільтру першого порядку

K ₁(p_н) = 1 / (p_н – z_{н 1}), (5.7)

де z _{н 1} реальний (негативний) полюс. Передаточцую функцію (5.7) можна реалізувати за допомогою найпростішого RС ланцюжка

(рис. 6). Для цього ланцюжка передавальна функція

, (5.8)

Рис. 6. RC -ланка

звідки полюс p ₁= -1/ RC. З (5.8) витікає, що для ФНЧ першого порядку w_c = 1/ RC (на рівні 0,5 коефіцієнти передачі по потужності), отже, нормований полюс z_{н 1} = p ₁/ w_c буде рівний - 1, тобто для найпростішої RC - ланки передавальна функція (5.7) має вигляд:

.

Два комплексно-зв'язані полюси передавальної функції K₀(p) можна реалізувати, наприклад за допомогою активних ФHЧ другого порядку на основі операційних підсилювачів. Операційні підсилювачі мають високий вхідний і низький вихідний опір, що забезпечує добру розв'язку ланок одину від одної.

Побудова активних RС - фільтрів на основі операційних підсилювачів розглянуто в [2, 3, 4]. Тут стисло розглянемо методику синтезу активного ФНЧ другого порядку, детально висловлену в [2].

Активну ланку другого порядку можна одержати, з'єднавши інвертуючий вхід операційного підсилювача з виходом за допомогою двохпетлевого ланцюга зворотного зв'язку (рис. 7).

Рис. 7. Структура схеми ФНЧ

Для схеми, зображеної на рис. 7 в [2, c. 354], одержаний вираз для передавальної функції в припущенні, що операційний підсилювач є ідеальним, тобто має нескінченно великі значення коефіцієнта посилення, смуги пропускання і вхідного опору, а вихідний опір його нескінченно малий. Цей вираз має вигляд

, (5.9)

де Yi (p), i = 1 … 5—операторні провідності, які по умові повинні бути реалізовані за допомогою пасивних двополюсників типа R і C. В випадку резистора операторна провідність буде рівна G = 1/ R, а у разі конденсатора -рС.

Таким чином, задача синтезу активного ланцюга з двохпетлевим зворотним зв'язком зводиться до підбору проводимостей пасивних елементів, які забезпечують заданий вид передавальної функції, а отже, і амплітудно-частотної характеристики.

Як відомо з розд.4, передавальна функція ФНЧ 2-го порядку в загальному випадку повинна мати наступний вигляд

, (5.10)

де A₀^’ , а, в, c - деякі постійні величини. Параметр A₀^’ пов'язаний з параметром А₀ співвідношенням

, (5.11)

тобто параметр А₀ визначає значення передавальної функції на нульовій частоті вхідного сигналу або, як то кажуть, на постійному струмі. Параметр А₀ також називають коефіцієнтом посилення.

Порівнюючи (5.9) і (5.10), бачимо, що для реалізації передавальної функції вигляду (5.10) необхідне, щоб елементи Y ₁, Y ₃, Y ₄були резисторами, а елементи Y ₂ і Y ₅ - конденсаторами. При цьому передавальна функція (5.9) прийме вигляд

(5.12)

Полюси передавальній Функції (5.12) визначаються виразом

(5.13)

Цей вираз дозволяє синтезувати ФНЧ 2-го порядку із заданими значеннями полюсів, у тому числі і із заданими значеннями пар полюсів, вибраних для i -ої ланки другого порядку при каскадній реалізації ФНЧ n - го порядку. До цього виразу ще вимагається додати співвідношення, необхідне для забезпечення заданого значення параметра A₀. Як випливає з (5.11) і (5.12), це співвідношення має вигляд

(5.14)

Таким чином, синтезувавши електричні принципові схеми всіх ланок 2-го порядку, одержимо схему ФНЧ n-го порядку. Як приклад розглянемо синтез активного ФНЧ 2-го порядку, який повинен мати два нормовані полюси передавальної функції

(5.15)

Як відомо з розд.4, ці полюси відповідають фільтру Батерворса 2-го порядку. Для переходу до ненормованих полюсів Р_1,2 необхідно нормовані полюси домножить на значення частоти зрізу ω_c, тобто

(5.16)

Хай w _с= 10³с^-1 і крім того, A₀= 1. Далі з (5.14) одержуємо що для забезпечення A₀= 1 слідує виконати умову R1=R4. Зададимся деякими прийнятними номіналами резисторів, поклавши їх однаковими: R1=R3= R4=1.8 кОм, тобто

Прирівнюючи речовинні частини виразів (5.13) і (5.16), одержуємо формулу для визначення місткості конденсатора C2:

,

звідки, підставляючи відомі значення величин, знаходимо C2=1.18мкФ. Щоб знайти місткість конденсатора С5, слід прирівняти уявні частини виразів (5.13) і (5.16):

Вирішивши це рівняння, знаходимо C5= 0,26мкФ.

Принципова схема синтезованого активного фільтру зображена на рис. 8.

Рис. 8. Принципова схема ФНЧ 2-го порядку.

Послідовність з'єднання ФНЧ 2-го порядку, забезпечуючих формування необхідної передавальної функції, може бути довільною, якщо немає додаткових умов при проектуванні фільтру, наприклад: забезпечення максимального динамічного діапазону, забезпечення мінімальних втрат в смузі пропускання, забезпечення мінімальної чутливості передавальної функції і т.д. Проте за наявності цих умов послідовність включення ланок вже не може бути довільною і окрім цього, не може бути довільним розподіл загального коефіцієнта посилення А₀. Ми прийняли раніше, що все посилення реалізується в останній ланці (5.5).