Контрольная работа №2. Задание №1. Найти область существования функций.

Задание №1. Найти область существования функций.

а) ; б) .

Решение:

a)

Выделим в систему ограничения на составляющие функцию у и решим её.

-2 0 1 2 х

Ответ:

б)

Выделим в систему ограничения на составляющие функцию у и решим её.

0 1/10 10 х

Ответ:

Задание №2. Найти пределы функций. a) ; б)

в) г) д) е)

ж)

Решение:

a)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

Задание №3. Найти производную функции.

а)

Решение:

Используем правила и , а также формулы таблицы дифференцирования.

б)

Решение:

Используем правила , а также формулы таблицы дифференцирования.

в)

Решение:

Прологарифмируем обе части данной функции.

Продифференцируем обе части последнего равенства:

Найти и : а) б) .

Решение:

а)

б)

Найдём производные и параметрически заданной функции.

Задание №4. Провести полное исследование функции и построить графики.

а)

Решение:

Исследуем функцию по плану

1.

2. функция ни чётна и ни нечётна.

3. Не является периодической, т.к.

4.

х
у		-

5.

2х-2=0

х=1 – критическая точка I рода.

	«+»	-	«-»		«-»
		-		min

6.

критическая точка II рода.

	«+»	-	«+»		«-»
		-		1/9

х= - точка перегиба.

7. х=0 – вертикальная асимптота . Наклонных асимптот нет.

y

0 1 2 3 x

б)

Решение:

Исследуем функцию по плану

1.

2. функция нечётна и не нечётна.

3. Не является периодической, т.к.

х
у	-e

4.

5.

критическая точка I рода.

	«-»		«-»

6.

критическая точка II рода.

	«-»		«+»

7. Асимптот нет.

y

x

-e

Задание №5. Исследовать функцию на экстремум .

Решение:

Найдем частные производные первого порядка:

, .

Найдем критические точки:

Решив эту систему, получим критические точки: .

Найдем частные производные 2-ого порядка

,

Тогда

,

Вычислим значения и в критических точках:

1) В точке , . Так как , то в точке экстремума нет;

2) В точке , . Так как , , то в точке точка минимума .

Задание №6. Найти частные производные сложной функции по независимым переменным и : .

Решение:

, .

.

Задание №7. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхностям, заданным уравнениями вида: а) б) в заданных точках.

а) в точке ;

б) в точке .

Решение:

а) Найдем частные производные , и их значения в точке :

.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке :

.

Тогда получаем

- уравнение касательной плоскости в точке .

Уравнение нормали к поверхности в точке :

.

Тогда получаем

- уравнение нормали в точке .

б) Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке :

.

.

;

.

.

Тогда

;

– уравнение касательной плоскости в точке .

Уравнение нормали к поверхности в точке :

;

- уравнение нормали в точке .

Задание №8. Для функции z = f(x,y) в точке А(x₀,y₀) найти градиент и производную в направлении вектора

A(1;-2);

Решение:

Список литературы

1. Дифференциальное и интегральное исчисления. т.1. Пискунов Н.С., М: Наука, 2004.
2. Дифференциальное и интегральное исчисления. т.2. Пискунов Н.С., М: Наука, 2004.
3. Высшая математика в 3 т. Т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Бугров Я.С. и др. Феникс, 1997.
4. Высшая математика в 3 т. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление. Бугров Я.С. и др. Феникс, 1997.
5. Высшая математика в упражнениях и задачах, Данко П.Е., Оникс, 2006.
6. Практикум по высшей математике. Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркешеян. Феникс, 2006.
7. Высшая математика. Шипачев В.С. М: Высш.шк., 2001.
8. Высшая математика для вузов. Шипачев В.С., М: Высш. шк., 2003.
9. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. Ермакова В.М. М.: Инфра-М, 2010.
10. Сборник задач по высшей математики для экономистов. Под ред. Ермакова В.М. М.:Инфра-М, 2009.
11. Математический анализ. Учебник для вузов, И.И. Барвин М. Высшая школа, 2006.
12. Дифференциальные уравнения. Чумак И.В. Ростов-на-Дону, ИЦ ДГТУ, 2007.

Интернет-ресурсы