Аксиоматическая теория натуральных чисел

Задача. Выяснить, какие из аксиом Пеано выполняются на множестве А с заданной на нем операцией f, где .

Решение:

Элементы 3, 6, 12,… не имеют предшествующих, т.к. нет таких натуральных чисел, которые бы в квадрате были равны 3, 6, 12,…. Однако, никакое из чисел не удовлетворяет первой аксиоме Пеано, в силу отсутствия единственности существования такого элемента. Таким образом, первая аксиома Пеано не выполняется.

Докажем, что вторая выполняется, предварительно записав ее в следующем виде:

.

.

Перепишем третью аксиому Пеано в следующем виде:

(*),

где – выделенный элемент множества А, удовлетворяющий первой аксиоме Пеано. Поскольку элемента не существует во множестве А, то заведомо ложный конъюнктивный член, значит, посылка импликации ложна, но тогда импликация (*) истинна. Таким образ, третья аксиома Пеано выполняется.

Задача. Докажите .

Решение:

1. База индукции n = 1.

.

2. Пусть верно для n = k.

.

3. Проверим для n = k +1.

.

Задача. Докажите, что для любого натурального n делится на 3.

Решение:

1. База индукции n = 1.

.

2. Пусть верно для n = k.

.

3. Проверим для n = k +1.

Задача. Докажите неравенство для любого натурального .

Решение:

1. База индукции n = 5.

2. Пусть верно для n = k.

3. Проверим для n = k +1.