Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов

Система векторов а₁, а₂, …, а_n называется линейно зависимой, если система уравнений

a₁x₁ + a₂x₂ + … + а_nx_n = 0 (1)

имеет ненулевое решение, если же система уравнений не имеет ненулевых решений, то система векторов a₁, a₂ …, a_n называется линейно независимой.

Будем говорить, что набор чисел k₁, k₂, … k_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел k отлично от нуля.

Для линейно зависимых систем векторов (линейно независимых) справедливы следующие утверждения:

1. Система векторов, состоящая из одного вектора a ≠ 0 линейно независима.

В самом деле, из любого соотношения a = 0 и a ≠ 0 → k = 0, что и означает линейную независимость системы.

2. Диагональная система векторов

; ; …, ;

линейно независима.

Запишем систему уравнений

e₁x₁+e₂x₂+…e_nx_n = 0 (2)

в виде таблицы

x 1	x 2	…	xn
		…
		…
		…

Откуда ясно, что система уравнений (2) имеет единственное решение x₁=0; x₂=0 … x_n = 0, т. е. не имеет не нулевых решений и поэтому диагональная система векторов линейно независима.

3. Система векторов a₁, a₂ …, a_n линейно зависима, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным векторам этой системы.

Пусть какой-нибудь вектор А1 разлагается по остальным векторам системы

a₁=l₂a₂+l₃a₃+…+l_na_n (3)

Представим (3) в виде

-1a₁+l₂a₂+l₃a₃…+l_na_n=0

Так как набор чисел (решение) -1, l₂, l₃…, l_n – не нулевой, система векторов a₁, a₂,…,a_n –линейно зависима.

4. Система m мерных векторов a₁, a₂,…, a_n линейно зависима, если n < m.

Действительно система уравнений

a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=0 (4)

содержит m уравнений и n неизвестных.

Так как по условию n > m, то из теории «Система однородных уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет нулевое решение» вытекает, что система уравнений (4) обладает ненулевым решением. Следовательно, система векторов a_1, a_{2, …,} a_n линейно зависима.