Главные кривизны и формула Эйлера

Пусть - соприкасающейся параболоид поверхности в точке Р. Из аналитической геометрии известно, что поворотом осей уравнение параболоида можно привести к виду .

Рассмотрим касательную прямую , проходящую через точку Р и . Нормальную кривизну поверхности в точке Р в направлении прямой можно вычислить по формуле

Если обозначить через угол между осью и прямой , то формулу можно переписать в виде .

Из этой формулы следует, что если , то , причем равенство в одном из неравенств может иметь место только в том случае, когда или , т. е. когда прямая совпадает с одной из координатных осей. Если же .

Таким образом, мы доказали следующую теорему Эйлера.